Exercice 17

(a) La fonction $\operatorname{Arctan}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $\frac{1}{1 + x^{2}} \in \,]0\,,1]$. L'inégalité des accroissements finis (théorème 6) donne $\boxed{|\operatorname{Arctan} x - \operatorname{Arctan} y| \leqslant |x - y|}$ : la fonction $\operatorname{Arctan}$ est $1$-lipschitzienne.

(b) Pour $x > 0$, le théorème des accroissements finis appliqué à $\exp$ sur $[0\,,x]$ fournit $c \in \,]0\,,x[$ tel que $\mathrm{e}^{x} - 1 = x\mathrm{e}^{c}$. Comme $1 \leqslant \mathrm{e}^{c} \leqslant \mathrm{e}^{x}$, on obtient $\boxed{x \leqslant \mathrm{e}^{x} - 1 \leqslant x\mathrm{e}^{x}}$, et l'inégalité est une égalité pour $x = 0$.

(c) Le théorème des accroissements finis appliqué à $\operatorname{Arctan}$ sur $[x\,,y]$ fournit $c \in \,]x\,,y[$ tel que $\operatorname{Arctan} y - \operatorname{Arctan} x = \frac{y - x}{1 + c^{2}}$. Comme $0 < x < c < y$, on a $\frac{1}{1 + y^{2}} < \frac{1}{1 + c^{2}} < \frac{1}{1 + x^{2}}$, d'où $$\boxed{\frac{y - x}{1 + y^{2}} < \operatorname{Arctan} y - \operatorname{Arctan} x < \frac{y - x}{1 + x^{2}}}$$

Approximations. Pour la racine carrée sur $[10\,000\,,10\,001]$, il existe $c$ dans cet intervalle tel que $$\sqrt{10\,001} - 100 = \frac{1}{2\sqrt{c}}, \qquad\text{donc}\qquad 0 < \sqrt{10\,001} - 100 < \frac{1}{2\sqrt{10\,000}} = \boxed{5 \cdot 10^{-3}}.$$ La valeur exacte de l'erreur est $4{,}99987 \cdot 10^{-3}$ : la majoration est presque optimale, car la dérivée varie très peu sur l'intervalle. Pour $u : t \mapsto \frac{1}{t^{2}}$, de dérivée $-\frac{2}{t^{3}}$, il existe $c \in \,]0{,}999\,,1[$ tel que $$\frac{1}{0{,}999^{2}} - 1 = \frac{2}{c^{3}} \times 10^{-3}, \qquad\text{donc}\qquad 0 < \frac{1}{0{,}999^{2}} - 1 < \frac{2 \cdot 10^{-3}}{0{,}999^{3}} < \boxed{2{,}01 \cdot 10^{-3}}.$$ La valeur exacte est $2{,}0030 \cdot 10^{-3}$.