Exercice 16

Si $P = 0$, l'équation n'a pas de solution. Sinon, soit $d$ le degré de $P$, et $h : x \mapsto P(x)\mathrm{e}^{-x} - 1$, dont les zéros sont exactement les solutions de l'équation. La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $$h'(x) = \big(P'(x) - P(x)\big)\mathrm{e}^{-x}.$$ Le polynôme $P - P'$ a le même terme dominant que $P$ : il est de degré $d$, non nul, et s'annule donc au plus $d$ fois (chapitre 3). Ainsi $h'$ s'annule au plus $d$ fois. Si $h$ s'annulait en $d + 2$ points distincts, le théorème de Rolle fournirait $d + 1$ zéros distincts de $h'$, ce qui est impossible. $$\boxed{\text{l'équation } P(x) = \mathrm{e}^{x} \text{ a au plus } d + 1 \text{ solutions}}$$ L'énoncé suggérait une récurrence sur le degré ; l'application directe du théorème de Rolle à $h$ la rend inutile, et donne en outre une borne explicite. La borne est atteinte pour $d = 1$ : l'équation $3x = \mathrm{e}^{x}$ a deux solutions, car la fonction $x \mapsto 3x\mathrm{e}^{-x}$ croît de $0$ à $\frac{3}{\mathrm{e}} > 1$ sur $[0\,,1]$ puis décroît vers $0$.