Exercice 15

La fonction $\varphi : x \mapsto \frac{f(x)}{x - d}$ est définie, continue sur $[a\,,b]$ et dérivable sur $]a\,,b[$, puisque $d \notin [a\,,b]$. Elle vérifie $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$. Le théorème de Rolle fournit $c \in \,]a\,,b[$ tel que $$\varphi'(c) = \frac{f'(c)(c - d) - f(c)}{(c - d)^{2}} = 0, \qquad\text{soit}\qquad f(c) + f'(c)(d - c) = 0.$$ Or la tangente au point d'abscisse $c$ a pour équation $y = f(c) + f'(c)(x - c)$ : l'égalité obtenue dit qu'elle passe par le point $(d, 0)$. $$\boxed{\text{la tangente au point d'abscisse } c \text{ passe par } (d, 0)}$$ La quantité $\varphi(x)$ est la pente de la droite joignant $(d, 0)$ au point $(x, f(x))$. On cherche la position où cette pente est extrémale : la droite y est tangente à la courbe, comme un rayon lumineux issu de $(d, 0)$ qui effleure la courbe.