Exercice 14

1. Supposons par exemple $f(c) > f(0)$, l'autre cas se traitant de même, et soit $\lambda$ un réel tel que $f(0) < \lambda < f(c)$, par exemple $\lambda = \frac{f(0) + f(c)}{2}$.

• Sur $[0\,,c]$, $f$ est continue et $f(0) < \lambda < f(c)$ : le théorème des valeurs intermédiaires fournit $a \in \,]0\,,c[$ tel que $f(a) = \lambda$.

• Comme $f$ tend vers $f(0) < \lambda$ en $+\infty$, il existe $X > c$ tel que $f(X) < \lambda$. Sur $[c\,,X]$, on obtient de même $b \in \,]c\,,X[$ tel que $f(b) = \lambda$.

Ainsi $0 < a < c < b$ et $f(a) = f(b)$. Le théorème de Rolle, appliqué sur $[a\,,b]$, fournit $\xi \in \,]a\,,b[$ tel que $f'(\xi) = 0$. Si $f$ est constante, sa dérivée est nulle partout. $$\boxed{f' \text{ s'annule sur } ]0\,,+\infty[}$$

2. Notons $L$ la limite commune. La fonction $\varphi : t \mapsto f(\tan t)$ est continue et dérivable sur $\big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$, et tend vers $L$ en $\pm\frac{\pi}{2}$ par composition des limites. On la prolonge par continuité en posant $\varphi\big(\pm\frac{\pi}{2}\big) = L$ : le théorème de Rolle s'applique, et fournit $c \in \big]-\frac{\pi}{2}\,,\frac{\pi}{2}\big[$ tel que $$\varphi'(c) = (1 + \tan^{2}c)\,f'(\tan c) = 0.$$

$$\boxed{f' \text{ s'annule en } \tan c}$$ Le changement de variable $x = \tan t$ ramène l'intervalle infini $\mathbb{R}$ à un intervalle borné : c'est la même idée que dans la question 1, réalisée d'un seul coup.