Exercice 13

Tout repose sur le principe suivant, conséquence du théorème de Rolle : si une fonction dérivable sur un intervalle s'annule en $m$ points distincts $t_{1} < \cdots < t_{m}$, sa dérivée s'annule en au moins $m - 1$ points distincts, un dans chaque intervalle $]t_{i}\,,t_{i+1}[$.

1. On a $P''(x) = n(n - 1)x^{n-2}$, qui ne s'annule qu'en $0$ (ou jamais si $n = 2$). Si $P$ avait quatre zéros distincts, $P'$ en aurait trois et $P''$ deux, ce qui est impossible. $$\boxed{P \text{ s'annule au plus trois fois}}$$

2. Si $n$ est pair, $P'(x) = nx^{n-1} + p$ avec $n - 1$ impair : la fonction $x \mapsto x^{n-1}$ est une bijection strictement croissante de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$, donc $P'$ s'annule exactement une fois. Si $P$ avait trois zéros, $P'$ en aurait deux. $$\boxed{\text{si } n \text{ est pair, } P \text{ s'annule au plus deux fois}}$$ Pour $n$ impair, la borne $3$ est atteinte : $x^{3} - x$ s'annule en $-1$, $0$ et $1$.

3. On montre par récurrence finie que, pour $0 \leqslant k \leqslant n$, la fonction $f^{(k)}$ s'annule en au moins $n + 1 - k$ points distincts de $I$. C'est l'hypothèse pour $k = 0$. Si c'est vrai pour un $k < n$, le principe ci-dessus, appliqué à $f^{(k)}$, qui est dérivable puisque $k < n$, donne $n - k$ zéros distincts de $f^{(k+1)}$. Pour $k = n$, on obtient $$\boxed{f^{(n)} \text{ s'annule au moins une fois sur } I}$$ C'est ce que les questions 1 et 2 utilisaient, avec $f = P$ et $f^{(2)}$ ou $f'$.