Exercice 12

Le membre de gauche est la dérivée de $x \mapsto ax^{4} + bx^{3} + cx^{2}$, qui vaut $a + b + c$ en $1$ et $0$ en $0$. On pose donc $$F(x) = ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} - (a + b + c)x.$$ La fonction $F$ est polynomiale, donc dérivable, et $F(0) = F(1) = 0$. Le théorème de Rolle fournit $x \in \,]0\,,1[$ tel que $F'(x) = 0$, c'est-à-dire $$\boxed{4ax^{3} + 3bx^{2} + 2cx = a + b + c \text{ pour un } x \in \,]0\,,1[}$$ On ne pouvait pas conclure par le théorème des valeurs intermédiaires, car on ne connaît pas le signe de $F'$ en $0$ et en $1$ : c'est en remontant à une primitive qu'on fait apparaître deux valeurs égales.