Exercice 11

1. On a $n^{1/n} = \exp\big(\varphi(n)\big)$ avec $\varphi(x) = \frac{\ln x}{x}$, dérivable sur $]0\,,+\infty[$, de dérivée $\varphi'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$. Ainsi $\varphi$ est croissante sur $]0\,,\mathrm{e}]$ et décroissante sur $[\mathrm{e}\,,+\infty[$ (théorème 7). Parmi les entiers, le maximum est donc atteint en $2$ ou en $3$, qui encadrent $\mathrm{e}$. Or $(2^{1/2})^{6} = 8 < 9 = (3^{1/3})^{6}$. $$\boxed{\text{le plus grand élément est } 3^{1/3} \approx 1{,}442}$$ L'étude de la fonction continue $\varphi$ ne donne que l'encadrement par $2$ et $3$ : la comparaison finale entre ces deux entiers est indispensable, car le maximum réel, atteint en $\mathrm{e}$, n'est pas un entier.

2. La fonction $f : x \mapsto x^{3} - 3x$ a pour dérivée $3(x - 1)(x + 1)$. Par la proposition 2, ses extrema locaux sont à chercher parmi $-1$ et $1$. Le signe de $f'$ montre que $f$ croît sur $]-\infty\,,-1]$, décroît sur $[-1\,,1]$ et croît sur $[1\,,+\infty[$ : $f$ a un maximum local en $-1$, de valeur $2$, et un minimum local en $1$, de valeur $-2$. Ces extrema ne sont pas globaux sur $\mathbb{R}$, puisque $f$ tend vers $\pm\infty$ en $\pm\infty$.

Sur le segment $[-3\,,2]$, $f$ atteint ses bornes (chapitre 8), en des points critiques ou aux extrémités. On compare donc $f(-3) = -18$, $f(-1) = 2$, $f(1) = -2$ et $f(2) = 2$. $$\boxed{\text{sur } [-3\,,2], \ \max f = 2, \text{ atteint en } -1 \text{ et } 2, \quad \min f = -18, \text{ atteint en } -3}$$

3. Pour $0 < x$ assez petit, on a $f(x) \geqslant f(0)$, donc le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(0)}{x}$ est positif, et sa limite aussi : $\boxed{f'(0) \geqslant 0}$. On ne peut pas dire mieux : $x \mapsto x$ a un minimum en $0$ sur $[0\,,1]$, avec une dérivée égale à $1$.

Piège. La proposition 2 exige un point intérieur à l'intervalle. En une extrémité, un extremum n'impose qu'une inégalité sur la dérivée, et c'est pourquoi on teste toujours séparément les bornes d'un segment.