Exercice 10

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $f'(x) = \mathrm{e}^{x} + 1 > 0$ : elle est strictement croissante et continue, de limites $-\infty$ et $+\infty$ en $-\infty$ et $+\infty$. Par le théorème de la bijection continue du chapitre 8, elle réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Comme $f'$ ne s'annule pas, le théorème 3 assure que $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$. Puisque $f(0) = 1$, on a $f^{-1}(1) = 0$, et $$\boxed{(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{2}}$$ La fonction $(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$ est elle-même dérivable, comme inverse d'une composée de fonctions dérivables, et $$(f^{-1})'' = -\frac{(f'' \circ f^{-1}) \times (f^{-1})'}{(f' \circ f^{-1})^{2}} = -\frac{f'' \circ f^{-1}}{(f' \circ f^{-1})^{3}}.$$ Avec $f''(0) = 1$ et $f'(0) = 2$, on obtient $$\boxed{(f^{-1})''(1) = -\frac{1}{8}}$$

2. Pour $x \geqslant 0$, on a $1 + x + x^{2} \geqslant 1$, donc $g$ est bien définie, et $$g'(x) = \frac{2x + 1}{x^{2} + x + 1} > 0.$$ La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur $[0\,,+\infty[$, avec $g(0) = 0$ et une limite infinie en $+\infty$ : elle réalise une bijection de $[0\,,+\infty[$ sur lui-même. Pour $y \geqslant 0$, l'équation $g(x) = y$ s'écrit $x^{2} + x + 1 - \mathrm{e}^{y} = 0$, de discriminant $4\mathrm{e}^{y} - 3 > 0$, dont la seule racine positive est $$\boxed{g^{-1}(y) = \frac{-1 + \sqrt{4\mathrm{e}^{y} - 3}}{2}}$$ En dérivant directement, $(g^{-1})'(y) = \dfrac{\mathrm{e}^{y}}{\sqrt{4\mathrm{e}^{y} - 3}}$. Par ailleurs, si $x = g^{-1}(y)$, on a $x^{2} + x + 1 = \mathrm{e}^{y}$ et $2x + 1 = \sqrt{4\mathrm{e}^{y} - 3}$, donc $$\frac{1}{g'(x)} = \frac{x^{2} + x + 1}{2x + 1} = \frac{\mathrm{e}^{y}}{\sqrt{4\mathrm{e}^{y} - 3}},$$ et les deux calculs donnent bien le même résultat, conformément au théorème 3.

À retenir. Le théorème 3 donne la dérivée d'une réciproque sans connaître celle-ci : c'est tout son intérêt dans la question 1, où $f^{-1}$ n'a pas d'expression à l'aide des fonctions usuelles.