Exercice 4

1. On fait apparaître deux taux d'accroissement en $a$ : pour $h \neq 0$, $$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = \frac{1}{2}\bigg(\frac{f(a + h) - f(a)}{h} + \frac{f(a - h) - f(a)}{-h}\bigg).$$ Les deux quotients tendent vers $f'(a)$ quand $h$ tend vers $0$, le second par composition avec $h \mapsto -h$. $$\boxed{\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)}$$

2. La réciproque est fausse. Pour $f = |\cdot|$ et $a = 0$, le quotient vaut $\frac{|h| - |-h|}{2h} = 0$ pour tout $h \neq 0$, et sa limite existe, alors que $f$ n'est pas dérivable en $0$. $$\boxed{\text{la réciproque est fausse}}$$ Le quotient symétrique ne voit pas la différence entre les pentes à gauche et à droite : il en fait la moyenne, ici $\frac{1}{2}(1 + (-1)) = 0$. Il ne voit même pas la continuité : la fonction indicatrice de $\{0\}$ donne aussi un quotient nul.

3. On ajoute et l'on retranche $af(a)$ au numérateur : pour $x \neq a$, $$\frac{xf(a) - af(x)}{x - a} = \frac{(x - a)f(a) - a\big(f(x) - f(a)\big)}{x - a} = f(a) - a\,\frac{f(x) - f(a)}{x - a}.$$