Exercice 3

1. Supposons $f(a) > 0$. Comme $f$ est continue en $a$ (proposition 1), elle reste strictement positive sur un voisinage de $a$, où $|f| = f$. La dérivabilité étant une propriété locale, $|f|$ est dérivable en $a$ et $|f|'(a) = f'(a)$. Si $f(a) < 0$, on obtient de même $|f|'(a) = -f'(a)$. $$\boxed{|f|'(a) = \operatorname{signe}\big(f(a)\big)\,f'(a)}$$

2. Si $f(a) = 0$, on a, pour $x \neq a$, $$\frac{|f(x)| - |f(a)|}{x - a} = \Big|\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\Big| \times \frac{|x - a|}{x - a}.$$ Le premier facteur tend vers $|f'(a)|$, et le second vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche. Ainsi $|f|'_{d}(a) = |f'(a)|$ et $|f|'_{g}(a) = -|f'(a)|$, qui sont égales si et seulement si $f'(a) = 0$. $$\boxed{\text{si } f(a) = 0, \ |f| \text{ est dérivable en } a \iff f'(a) = 0}$$

3. En résumé, $|f|$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f(a) \neq 0$ ou $f'(a) = 0$ : les seuls points à problème sont les zéros de $f$ en lesquels la dérivée ne s'annule pas, où la courbe de $f$ traverse l'axe des abscisses avec une pente non nulle.

• La fonction $\sin$ s'annule en $k\pi$, où $\cos(k\pi) = (-1)^{k} \neq 0$ : $|\sin|$ est dérivable exactement sur $\mathbb{R} \setminus \pi\mathbb{Z}$.

• La fonction $x \mapsto x^{3} - x$ s'annule en $-1$, $0$ et $1$, où sa dérivée $3x^{2} - 1$ vaut $2$, $-1$ et $2$ : $x \mapsto |x^{3} - x|$ est dérivable exactement sur $\mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$.

4. On a $\max(f, g) = \frac{1}{2}\big(f + g + |f - g|\big)$. Comme $f + g$ est dérivable, $\max(f, g)$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si $|f - g|$ l'est, et la question 3 appliquée à $f - g$ donne la condition. $$\boxed{\max(f, g) \text{ dérivable en } x_{0} \iff f(x_{0}) \neq g(x_{0}) \text{ ou } f'(x_{0}) = g'(x_{0})}$$ Géométriquement, aux points où les courbes se croisent, elles doivent avoir la même tangente pour que leur enveloppe supérieure n'ait pas de point anguleux.