Exercice 2

(a) La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, puisque $1 + |x| > 0$, et $f(0) = 0$. Pour $x \neq 0$, le taux d'accroissement en $0$ vaut $$\frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{1}{1 + |x|} \xrightarrow[x \to 0]{} 1,$$ par continuité de la valeur absolue. De même, $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $$\frac{g(x) - g(0)}{x} = |x|\,\frac{\sin x}{x} \xrightarrow[x \to 0]{} 0 \times 1 = 0.$$

$$\boxed{f \text{ et } g \text{ sont dérivables en } 0, \text{ avec } f'(0) = 1 \text{ et } g'(0) = 0}$$ La valeur absolue, qui n'est pas dérivable en $0$, n'empêche donc pas la dérivabilité d'un produit ou d'un quotient où elle apparaît.

(b) La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ et continue en $1$, avec $h(1) = 0$. À gauche, le taux d'accroissement vaut $\frac{x - 1}{x - 1} = 1$ ; à droite, il vaut $\frac{(x - 1)^{2}}{x - 1} = x - 1$, qui tend vers $0$. Ainsi $h'_{g}(1) = 1$ et $h'_{d}(1) = 0$. $$\boxed{h \text{ n'est pas dérivable en } 1}$$ Sa courbe présente en $1$ un point anguleux, comme celle de la valeur absolue en $0$.

(c) On a $x^{2} - x^{3} = x^{2}(1 - x)$, positif si et seulement si $x \leqslant 1$ : le domaine est $]-\infty\,,1]$. Sur $]-\infty\,,1[$ privé de $0$, la quantité sous la racine est strictement positive, et la fonction est dérivable par composition (théorème 2). Aux deux points restants, on revient au taux d'accroissement, en écrivant $\sqrt{x^{2}(1 - x)} = |x|\sqrt{1 - x}$.

• En $0$, le taux vaut $\frac{|x|}{x}\sqrt{1 - x}$, qui tend vers $1$ à droite et vers $-1$ à gauche : la fonction n'est pas dérivable en $0$, où sa courbe a un point anguleux.

• En $1$, pour $0 < x < 1$, le taux vaut $\dfrac{x\sqrt{1 - x}}{x - 1} = -\dfrac{x}{\sqrt{1 - x}}$, qui tend vers $-\infty$ : la fonction n'est pas dérivable en $1$, où sa courbe a une tangente verticale.

(d) La fonction $\operatorname{Arccos}$ est définie sur $[-1\,,1]$, donc le domaine est l'ensemble des $x$ tels que $x^{2} \leqslant 1$, soit $[-1\,,1]$. Comme $\operatorname{Arccos}$ est dérivable sur $]-1\,,1[$, la fonction est dérivable sur $]-1\,,1[$ par composition et produit. En $1$, où elle s'annule, le taux d'accroissement vaut $$\frac{(x^{2} - 1)\operatorname{Arccos}(x^{2})}{x - 1} = (x + 1)\operatorname{Arccos}(x^{2}) \xrightarrow[x \to 1^{-}]{} 2\operatorname{Arccos}(1) = 0,$$ par continuité de $\operatorname{Arccos}$. La fonction étant paire, il en va de même en $-1$. $$\boxed{\text{dérivable sur } [-1\,,1], \text{ avec une dérivée nulle en } \pm 1}$$ Le facteur $x^{2} - 1$ compense la tangente verticale de $\operatorname{Arccos}$ en $1$ : c'est le phénomène inverse de celui de la question (c).

(e) La fonction est définie sur $[0\,,+\infty[$. On pose $u = \sqrt{x}$, qui tend vers $0^{+}$ avec $x$, et l'on utilise $1 - \cos u = 2\sin^{2}\frac{u}{2}$ : $$\frac{\cos\sqrt{x} - 1}{x} = \frac{\cos u - 1}{u^{2}} = -\frac{1}{2}\Big(\frac{\sin(u/2)}{u/2}\Big)^{2} \xrightarrow[u \to 0^{+}]{} -\frac{1}{2}.$$

Piège. La formule de dérivation d'une composée ne s'applique pas en $0$, puisque la racine carrée n'y est pas dérivable : elle donnerait l'expression $-\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$, qui n'a pas de sens en $0$. Seul le retour au taux d'accroissement permet de conclure, et la composée est dérivable bien que l'une des fonctions composées ne le soit pas.