Exercice 1

Chaque quotient est le taux d'accroissement $\frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{x - a}$ d'une fonction $\varphi$ dérivable en $a$ : sa limite est $\varphi'(a)$, que l'on calcule avec les formules du cours.

(a) Avec $\varphi(x) = \mathrm{e}^{3x + 2}$ et $a = 0$, on a $\varphi'(x) = 3\mathrm{e}^{3x + 2}$, d'où $\boxed{3\mathrm{e}^{2}}$.

(b) Avec $\varphi(x) = \ln(2 - x)$ et $a = 1$, on a $\varphi(1) = 0$ et $\varphi'(x) = -\frac{1}{2 - x}$, d'où $\boxed{-1}$.

(c) Avec $\varphi(x) = \exp(\cos x)$ et $a = \frac{\pi}{2}$, on a $\varphi\big(\frac{\pi}{2}\big) = 1$ et $\varphi'(x) = -\sin x\,\exp(\cos x)$, d'où $\boxed{-1}$.

(d) Avec $\varphi = \operatorname{Arctan}$ et $a = 1$, puisque $\operatorname{Arctan} 1 = \frac{\pi}{4}$ et $\operatorname{Arctan}'(1) = \frac{1}{1 + 1^{2}}$, la limite vaut $\boxed{\tfrac{1}{2}}$.

(e) Avec $\varphi(x) = x^{100}$ et $a = 1$, la limite vaut $\boxed{100}$. On évite ainsi la factorisation de $x^{100} - 1$ par $x - 1$ du chapitre 3, qui donnerait la somme de cent termes égaux à $1$.

(f) Avec $\varphi(x) = (1 + 2x)^{1/3}$ et $a = 0$, on a $\varphi'(x) = \frac{2}{3}(1 + 2x)^{-2/3}$, d'où $\boxed{\tfrac{2}{3}}$.

À retenir. Reconnaître un taux d'accroissement remplace un calcul de limite par un calcul de dérivée. Il faut seulement vérifier que le numérateur s'annule bien au point considéré.