Exercice 5

La dérivabilité en $0$ avec $f(0) = 0$ signifie que $\frac{f(x)}{x}$ tend vers $f'(0)$. On pose donc $\varepsilon(x) = \frac{f(x)}{x} - f'(0)$ pour $x \neq 0$ et $\varepsilon(0) = 0$, de sorte que $f(x) = x\big(f'(0) + \varepsilon(x)\big)$ pour tout $x$, avec $\lim\limits_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0$. Alors $$u_{n} = f'(0)\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}} + \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}}\,\varepsilon\Big(\frac{k}{n^{2}}\Big), \qquad\text{avec}\qquad \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}} = \frac{n(n + 1)}{2n^{2}} = \frac{n + 1}{2n}.$$ Soit $\eta > 0$, et $\delta > 0$ tel que $|\varepsilon(t)| \leqslant \eta$ pour $|t| \leqslant \delta$. Pour $n \geqslant \frac{1}{\delta}$, tous les points $\frac{k}{n^{2}}$, avec $k \leqslant n$, sont dans $\big[0\,,\frac{1}{n}\big] \subset [0\,,\delta]$, et le second terme est majoré en valeur absolue par $\eta\,\frac{n + 1}{2n} \leqslant \eta$ : il tend vers $0$. $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n} = \frac{f'(0)}{2}}$$ Par exemple, pour $f = \sin$, on obtient $\lim\limits_{n \to +\infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \sin\frac{k}{n^{2}} = \frac{1}{2}$ : la somme se comporte comme celle des $\frac{k}{n^{2}}$, car tous les arguments sont proches de $0$.

Piège. Il ne suffit pas de dire que chaque terme $\frac{k}{n^{2}}\varepsilon\big(\frac{k}{n^{2}}\big)$ est négligeable : le nombre de termes augmente avec $n$. Il faut une majoration uniforme de $|\varepsilon|$ sur $\big[0\,,\frac{1}{n}\big]$, que fournit la définition de la limite.