Exercice 6

1. Si $f$ est paire, on dérive l'égalité $f(-x) = f(x)$ à l'aide du théorème 2 : $-f'(-x) = f'(x)$, donc $f'$ est impaire. De même, la dérivée d'une fonction impaire est paire, et la dérivée d'une fonction $T$-périodique, obtenue en dérivant $f(x + T) = f(x)$, est $T$-périodique. $$\boxed{f \text{ paire} \Rightarrow f' \text{ impaire}, \quad f \text{ impaire} \Rightarrow f' \text{ paire}, \quad f \ T\text{-périodique} \Rightarrow f' \ T\text{-périodique}}$$ Une seule réciproque est vraie : si $f'$ est impaire, la fonction $x \mapsto f(x) - f(-x)$ a pour dérivée $f'(x) + f'(-x) = 0$, elle est donc constante, égale à sa valeur $0$ en $0$, et $f$ est paire. Les deux autres sont fausses : $x \mapsto x + 1$ a une dérivée paire sans être impaire, et $x \mapsto x$ a une dérivée périodique sans être périodique ; dans les deux cas, c'est la constante d'intégration qui fait défaut.

2. Sur $\big[0\,,\frac{1}{2}\big]$ et sur $\big]\frac{1}{2}\,,1\big]$, la fonction $g$ est continue comme composée de fonctions continues. En $\frac{1}{2}$, on a $g\big(\frac{1}{2}\big) = f(1)$, et la limite à droite vaut $\lim\limits_{x \to 1/2^{+}} f(2x - 1) = f(0)$, égale à $f(1)$ par hypothèse : $g$ est continue sur $[0\,,1]$.

Sur $\big[0\,,\frac{1}{2}\big[$ et sur $\big]\frac{1}{2}\,,1\big]$, $g$ est dérivable, avec $g'(x) = 2f'(2x)$ et $g'(x) = 2f'(2x - 1)$ respectivement. En $\frac{1}{2}$, la dérivée à gauche vaut $2f'(1)$, et, pour $x > \frac{1}{2}$, en posant $h = 2x - 1$, $$\frac{g(x) - g\big(\frac{1}{2}\big)}{x - \frac{1}{2}} = \frac{f(2x - 1) - f(0)}{x - \frac{1}{2}} = 2\,\frac{f(h) - f(0)}{h} \xrightarrow[x \to 1/2^{+}]{} 2f'(0).$$ On a utilisé $g\big(\frac{1}{2}\big) = f(1) = f(0)$. $$\boxed{g \text{ est dérivable sur } [0\,,1] \iff f'(0) = f'(1)}$$ Si l'on prolonge $f$ par $1$-périodicité, la courbe de $g$ est celle de $f$ parcourue deux fois en accéléré : le raccord est lisse si et seulement si les pentes aux deux bouts coïncident.