Exercice 7

1. La tangente à la parabole au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2ax - a^{2}$, et la tangente à l'hyperbole au point d'abscisse $b \neq 0$ a pour équation $y = -\frac{x}{b^{2}} + \frac{2}{b}$. Une tangente commune correspond à un couple $(a, b)$ tel que ces deux droites coïncident, c'est-à-dire $$2a = -\frac{1}{b^{2}} \qquad\text{et}\qquad -a^{2} = \frac{2}{b}.$$ La première équation donne $a = -\frac{1}{2b^{2}}$, et la seconde devient $-\frac{1}{4b^{4}} = \frac{2}{b}$, soit $8b^{3} = -1$. On trouve $b = -\frac{1}{2}$, puis $a = -2$ : le couple est unique. $$\boxed{\text{l'unique tangente commune est la droite } y = -4x - 4}$$ Elle touche la parabole en $(-2, 4)$ et l'hyperbole en $\big(-\frac{1}{2}, -2\big)$.

La droite bleu pétrole touche la parabole bleue sur sa branche gauche et la branche négative de l'hyperbole ocre, sans couper ni l'une ni l'autre au voisinage des points de contact.

2. La fonction $f_{\lambda}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, avec $$f_{\lambda}'(x) = \frac{(x^{2} + 1) - 2x(x + \lambda)}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{1 - x^{2} - 2\lambda x}{(x^{2} + 1)^{2}}.$$ En $0$, on a $f_{\lambda}'(0) = 1$ pour tout $\lambda$ : les tangentes en $0$ ont toutes la pente $1$, et elles sont parallèles. En $1$, on a $f_{\lambda}(1) = \frac{1 + \lambda}{2}$ et $f_{\lambda}'(1) = -\frac{\lambda}{2}$, d'où la tangente $$y = \frac{1 + \lambda}{2} - \frac{\lambda}{2}(x - 1) = \frac{1}{2} + \frac{\lambda}{2}(2 - x).$$ Pour $x = 2$, on trouve $y = \frac{1}{2}$, quel que soit $\lambda$. $$\boxed{\text{les tangentes en } 1 \text{ passent toutes par le point } \big(2, \tfrac{1}{2}\big)}$$ On trouve ce point en écrivant l'équation de la tangente sous la forme $A(x, y) + \lambda B(x, y) = 0$ : le point commun est la solution du système $A = B = 0$.