Exercice 8

1. Soit $f$ une solution. En prenant $x = y = 0$, on obtient $f(0) = 2f(0)$, donc $f(0) = 0$. À $x$ fixé, on dérive par rapport à $y$ les deux membres de l'égalité $f(x + y) = f(x) + f(y)$ : $f'(x + y) = f'(y)$. En $y = 0$, il vient $f'(x) = f'(0)$ pour tout $x$. On pose $a = f'(0)$. La fonction $x \mapsto f(x) - ax$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, elle est donc constante (théorème 7), égale à sa valeur $f(0) = 0$ en $0$. Réciproquement, les fonctions linéaires conviennent. $$\boxed{\text{les solutions sont les fonctions } x \mapsto ax, \ a \in \mathbb{R}}$$ Le chapitre 8 avait obtenu le même résultat sous la seule hypothèse de continuité, au prix d'un passage par les rationnels : la dérivabilité raccourcit nettement la démonstration.

2. Soit $f$ une solution. En $x = 0$, on obtient $f(0) = 0$. Pour $x > 0$, on pose $g(x) = \frac{f(x)}{x}$, qui vérifie $g(2x) = \frac{2f(x)}{2x} = g(x)$, donc, par récurrence, $g(x) = g\big(\frac{x}{2^{n}}\big)$ pour tout $n$. Or $g(t) = \frac{f(t) - f(0)}{t}$ tend vers $f'(0)$ quand $t$ tend vers $0^{+}$, et $\frac{x}{2^{n}}$ tend vers $0$ : par composition, $g(x) = f'(0)$. Ainsi $f(x) = f'(0)\,x$ pour tout $x \geqslant 0$, et les fonctions linéaires conviennent. $$\boxed{\text{les solutions sont les fonctions } x \mapsto ax, \ a \in \mathbb{R}}$$ La dérivabilité n'a servi qu'en $0$ : il suffisait de supposer $f$ dérivable à droite en $0$.