Exercice 45

1. Par concavité de $\ln$ avec les coefficients $\frac{1}{p}$ et $\frac{1}{q}$, de somme $1$, $$\ln\Big(\frac{x^{p}}{p} + \frac{y^{q}}{q}\Big) \geqslant \frac{1}{p}\ln(x^{p}) + \frac{1}{q}\ln(y^{q}) = \ln x + \ln y = \ln(xy),$$ et la croissance de $\exp$ conclut. $$\boxed{xy \leqslant \frac{x^{p}}{p} + \frac{y^{q}}{q}}$$

2. On applique la question 1 à chaque couple $(a_{i}, b_{i})$ et l'on somme : $$\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \leqslant \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p} + \frac{1}{q}\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}, \qquad\text{soit}\qquad \boxed{\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \leqslant 1}$$

3. On pose $$A = \Big(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p}\Big)^{1/p} > 0 \qquad\text{et}\qquad B = \Big(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q}\Big)^{1/q} > 0.$$ Les réels $\frac{a_{i}}{A}$ et $\frac{b_{i}}{B}$ vérifient $\sum \big(\frac{a_{i}}{A}\big)^{p} = \sum \big(\frac{b_{i}}{B}\big)^{q} = 1$, et la question 2 donne $\sum \frac{a_{i}b_{i}}{AB} \leqslant 1$, soit $$\boxed{\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} \leqslant \Big(\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{p}\Big)^{1/p}\Big(\sum_{i=1}^{n} b_{i}^{q}\Big)^{1/q}}$$ Pour $p = q = 2$, on obtient $\sum a_{i}b_{i} \leqslant \sqrt{\sum a_{i}^{2}}\sqrt{\sum b_{i}^{2}}$ : c'est l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que le chapitre sur les espaces préhilbertiens démontrera par une autre voie.

À retenir. La normalisation de la question 3 est un procédé classique : on démontre d'abord une inégalité homogène dans un cas normalisé, puis on se ramène à ce cas en divisant par la bonne quantité.