Exercice 44

1. D'après le lemme des trois pentes, $\tau_{a}$ est croissante sur $I \setminus \{a\}$. Pour $x \in [u\,,v] \setminus \{a\}$, on a donc $\tau_{a}(u) \leqslant \tau_{a}(x) \leqslant \tau_{a}(v)$. $$\boxed{|\tau_{a}| \leqslant K = \max\big(|\tau_{a}(u)|, |\tau_{a}(v)|\big) \text{ sur } [u\,,v] \setminus \{a\}}$$ Il est essentiel que $a$ soit intérieur à $I$ pour trouver $u$ et $v$ de part et d'autre : c'est là que sert l'hypothèse d'intervalle ouvert.

2. Pour $x \in [u\,,v]$, on a $|f(x) - f(a)| \leqslant K|x - a|$, qui tend vers $0$ : $f$ est continue en $a$. Sur $]a\,,v]$, la fonction $\tau_{a}$ est croissante et minorée par $\tau_{a}(u)$ ; par le théorème de la limite monotone du chapitre 8, elle admet en $a^{+}$ une limite finie, égale à sa borne inférieure. De même, sur $[u\,,a[$, elle est croissante et majorée par $\tau_{a}(v)$, et admet en $a^{-}$ une limite finie, égale à sa borne supérieure. Ainsi $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$. Enfin, pour $x < a < y$, on a $\tau_{a}(x) \leqslant \tau_{a}(y)$, et le passage à la limite donne $f'_{g}(a) \leqslant f'_{d}(a)$. $$\boxed{f \text{ est continue en } a, \text{ dérivable à gauche et à droite, avec } f'_{g}(a) \leqslant f'_{d}(a)}$$ L'inégalité peut être stricte : pour $x \mapsto |x|$ en $0$, on a $f'_{g}(0) = -1 < 1 = f'_{d}(0)$. Une fonction convexe peut avoir des points anguleux, mais toujours « vers le bas ».

3. Soit $f$ définie sur $[0\,,1]$ par $f(0) = f(1) = 1$ et $f(x) = 0$ pour $0 < x < 1$. Pour $x < y$ dans $[0\,,1]$ et $\lambda \in \,]0\,,1[$, le point $(1 - \lambda)x + \lambda y$ est dans $]0\,,1[$, où $f$ est nulle, et le membre de droite de l'inégalité de convexité est positif ; pour $\lambda \in \{0, 1\}$ ou $x = y$, l'inégalité est une égalité. Ainsi $$\boxed{f \text{ est convexe sur } [0\,,1] \text{ mais discontinue en } 0 \text{ et en } 1}$$ Aux extrémités, une fonction convexe ne peut que « sauter vers le haut ».