Exercice 46

Notons $g(x) = xf(x)$ et $k(x) = f\big(\frac{1}{x}\big)$, deux fois dérivables sur $]0\,,+\infty[$. On a $$g''(y) = 2f'(y) + yf''(y), \qquad k'(x) = -\frac{1}{x^{2}}f'\Big(\frac{1}{x}\Big), \qquad k''(x) = \frac{2}{x^{3}}f'\Big(\frac{1}{x}\Big) + \frac{1}{x^{4}}f''\Big(\frac{1}{x}\Big).$$ En comparant avec $g''\big(\frac{1}{x}\big) = 2f'\big(\frac{1}{x}\big) + \frac{1}{x}f''\big(\frac{1}{x}\big)$, on obtient la relation $$\boxed{k''(x) = \frac{1}{x^{3}}\,g''\Big(\frac{1}{x}\Big) \text{ pour tout } x > 0}$$ Comme $x^{3} > 0$ et que $x \mapsto \frac{1}{x}$ est une bijection de $]0\,,+\infty[$ sur lui-même, $k''$ est positive sur $]0\,,+\infty[$ si et seulement si $g''$ l'est. Le théorème 11 conclut : $x \mapsto xf(x)$ est convexe si et seulement si $x \mapsto f\big(\frac{1}{x}\big)$ l'est.

Application. Pour $f = \ln$, on a $g(x) = x\ln x$, de dérivée seconde $\frac{1}{x} > 0$, donc convexe, et $k(x) = \ln\frac{1}{x} = -\ln x$. L'équivalence montre que la convexité de $x \mapsto x\ln x$ et celle de $x \mapsto -\ln x$, c'est-à-dire la concavité de $\ln$, sont une seule et même propriété.