Exercice 47

1. Faux. La fonction $f : x \mapsto x^{2}\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}(x)$, qui vaut $x^{2}$ sur $\mathbb{Q}$ et $0$ ailleurs, vérifie $\big|\frac{f(x) - f(0)}{x}\big| \leqslant |x|$ : elle est dérivable en $0$, avec $f'(0) = 0$. Mais elle n'est continue en aucun point $a \neq 0$ : par densité de $\mathbb{Q}$ et de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (chapitre 7), il existe des suites de rationnels et d'irrationnels tendant vers $a$, le long desquelles $f$ tend vers $a^{2}$ et vers $0$ respectivement. La dérivabilité en un point n'apporte rien au voisinage de ce point.

2. Vrai. C'est le théorème 8, de la limite de la dérivée. L'hypothèse de continuité en $a$ est indispensable : la fonction indicatrice de $]0\,,+\infty[$ a une dérivée nulle sur $\mathbb{R}^{*}$, mais elle n'est pas dérivable en $0$.

3. Vrai. Si $|f'| \leqslant M$, l'inégalité des accroissements finis donne $|f(x) - f(y)| \leqslant M|x - y|$ : $f$ est lipschitzienne, donc uniformément continue (chapitre 8), avec $\delta = \frac{\varepsilon}{M}$ si $M > 0$.

4. Faux. La fonction $x \mapsto x^{3}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, et sa dérivée s'annule en $0$. Le théorème 7 donne seulement $f' \geqslant 0$ ; la stricte croissance autorise des zéros isolés de la dérivée.

5. Vrai. C'est l'exercice 6 : on dérive l'égalité $f(-x) = f(x)$.

6. Faux. Soit $f(x) = \frac{\sin(x^{2})}{x}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. Elle tend vers $0$ en $+\infty$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}^{*}$, et en $0$, puisque $\frac{f(x)}{x} = \frac{\sin(x^{2})}{x^{2}}$ tend vers $1$. Pour $x \neq 0$, $f'(x) = 2\cos(x^{2}) - \frac{\sin(x^{2})}{x^{2}}$, qui vaut $2$ en $x = \sqrt{2n\pi}$ : $f'$ ne tend pas vers $0$. Une fonction peut tendre vers $0$ en oscillant de plus en plus vite.

7. Vrai. Par le théorème 10, la courbe de $f$ est au-dessus de sa tangente en $a$, qui est horizontale : $f(x) \geqslant f(a) + f'(a)(x - a) = f(a)$ pour tout $x$. Pour une fonction convexe dérivable, la condition nécessaire de la proposition 2 devient suffisante.

8. Faux. Les fonctions $x \mapsto x$ et $x \mapsto x^{2}$ sont convexes, mais leur produit $x \mapsto x^{3}$ ne l'est pas, puisque sa dérivée seconde $6x$ est négative sur $]-\infty\,,0[$.

9. Vrai. Si $f'' > 0$, la dérivée $f'$ est strictement croissante (théorème 7), donc injective : elle s'annule au plus une fois.

10. Vrai. Une fonction dérivable sur $[a\,,b]$ y est continue (proposition 1), et dérivable sur $]a\,,b[$ : ce sont les hypothèses du théorème de Rolle, et même un peu plus.