Exercice 48

1. Sur $\mathbb{R}^{*}$, la fonction $f$ est dérivable comme somme, produit et composée de fonctions dérivables (théorèmes 1 et 2). La dérivée de $x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ étant $x \mapsto -\frac{1}{x^{2}}\cos\frac{1}{x}$, on obtient, pour $x \neq 0$, $$\boxed{f'(x) = 1 + 4x\sin\frac{1}{x} - 2\cos\frac{1}{x}}$$ En $0$, on revient au taux d'accroissement : pour $x \neq 0$, $$\frac{f(x) - f(0)}{x} = 1 + 2x\sin\frac{1}{x}, \qquad\text{avec}\qquad \Big|2x\sin\frac{1}{x}\Big| \leqslant 2|x| \xrightarrow[x \to 0]{} 0.$$

2. Pour $0 < |x| < \frac{1}{2}$, l'encadrement précédent donne $$\frac{f(x)}{x} = 1 + 2x\sin\frac{1}{x} \geqslant 1 - 2|x| > 0,$$ donc $f(x)$ est du signe de $x$, et l'on a $f(x) < f(0) < f(y)$ dès que $-\frac{1}{2} < x < 0 < y < \frac{1}{2}$. $$\boxed{\eta = \tfrac{1}{2} \text{ convient}}$$ La fonction est « croissante au point $0$ », au sens où elle y sépare les valeurs plus petites et plus grandes ; c'est tout ce que dit le signe de $f'(0)$.

3. Comme $\sin(2k\pi) = 0$ et $\cos(2k\pi) = 1$, la formule de la question 1 donne $$\boxed{f'\Big(\frac{1}{2k\pi}\Big) = 1 - 2 = -1}$$ Soit $\eta > 0$. On choisit $k \in \mathbb{N}^{*}$ tel que $x_{k} = \frac{1}{2k\pi} < \eta$. La fonction $f'$ est continue sur $\mathbb{R}^{*}$, d'après sa formule, et $f'(x_{k}) < 0$ : il existe donc un segment $[x_{k} - r\,,x_{k} + r]$, contenu dans $]0\,,\eta[$, sur lequel $f' < 0$, et $f$ y est strictement décroissante par le théorème 7. Ainsi $f$ n'est pas croissante sur $]-\eta\,,\eta[$. Elle n'y est pas non plus décroissante, puisqu'une fonction décroissante a une dérivée négative (théorème 7) alors que $f'(0) = 1$. $$\boxed{f \text{ n'est monotone sur aucun intervalle } ]-\eta\,,\eta[}$$

4. Comme $g'$ est continue en $a$ et que $g'(a) > 0$, il existe $r > 0$ tel que $]a - r\,,a + r[ \,\subset I$ et que $|g'(x) - g'(a)| < \frac{g'(a)}{2}$ pour $|x - a| < r$, ce qui donne $g'(x) > \frac{g'(a)}{2} > 0$. La dérivée ne s'annulant pas sur $]a - r\,,a + r[$, le théorème 7 (iii) montre que $$\boxed{g \text{ est strictement croissante sur } ]a - r\,,a + r[}$$ Pour la fonction $f$, on a $f'(0) = 1 > 0$ et $f$ n'est croissante sur aucun intervalle ouvert contenant $0$, d'après la question 3 : $f'$ n'est donc pas continue en $0$, et $\boxed{f \text{ n'est pas de classe } \mathcal{C}^{1}}$. On le voit aussi directement : $f'(x_{k}) = -1$ ne tend pas vers $f'(0) = 1$.

Piège. L'erreur la plus répandue est de conclure de $f'(a) > 0$ que $f$ est croissante « au voisinage de $a$ ». Le théorème 7 relie le signe de $f'$ sur un intervalle à la monotonie sur cet intervalle ; le signe de la dérivée en un seul point ne donne que la question 2. Il faut une hypothèse supplémentaire, comme la continuité de $f'$ en $a$ de la question 4.

À retenir. La fonction $f$ est la somme de l'identité et du double de la fonction $x \mapsto x^{2}\sin\frac{1}{x}$ du cours (section 9.2), dérivable sans être de classe $\mathcal{C}^{1}$. Près de $0$, sa dérivée oscille : on a aussi $$f'\Big(\frac{1}{(2k + 1)\pi}\Big) = 1 + 2 = 3,$$ et, $f'$ étant continue sur $]0\,,\eta[$, le théorème des valeurs intermédiaires montre qu'elle y prend toutes les valeurs de $[-1\,,3]$, quel que soit $\eta > 0$. C'est un exemple concret de la situation de l'exercice 23 : une dérivée discontinue en $0$, qui vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires. L'item 4 du vrai ou faux de l'exercice 47 montrait l'autre sens : une fonction strictement croissante peut avoir une dérivée nulle en un point.