Exercice 49

1. On raisonne par récurrence sur $n$. Pour $n = 0$, la somme se réduit à $f(x)$. Supposons la formule vraie au rang $n$. Par définition, $\Delta^{n+1} f(x) = \Delta^{n} f(x + 1) - \Delta^{n} f(x)$, et l'hypothèse de récurrence donne, après le changement d'indice $k \leftarrow k + 1$ dans la première somme, $$\Delta^{n+1} f(x) = \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{n+1-k}\binom{n}{k - 1} f(x + k) + \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n+1-k}\binom{n}{k} f(x + k).$$ Avec les conventions $\binom{n}{-1} = \binom{n}{n+1} = 0$, la formule de Pascal du chapitre 3, $\binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k} = \binom{n + 1}{k}$, regroupe les deux sommes : $$\boxed{\Delta^{n} f(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k} f(x + k)}$$

2. On démontre par récurrence sur $n \geqslant 1$ la propriété suivante : pour toute fonction $f$ qui est $n$ fois dérivable sur $I$ et tout $x \in I$, il existe $c \in \,]x\,,x + n[$ tel que $\Delta^{n} f(x) = f^{(n)}(c)$.

Pour $n = 1$, la fonction $f$ est continue et dérivable sur le segment $[x\,,x + 1]$, contenu dans $I$, et le théorème 5 des accroissements finis fournit $c \in \,]x\,,x + 1[$ tel que $f(x + 1) - f(x) = f'(c)$.

Supposons la propriété vraie au rang $n$, et soit $f$ une fonction $n + 1$ fois dérivable sur $I$. La fonction $g = \Delta f$ est $n$ fois dérivable sur $I$, par composition avec $t \mapsto t + 1$ (théorème 2), et $g^{(n)}(t) = f^{(n)}(t + 1) - f^{(n)}(t)$. Par une récurrence immédiate, $\Delta^{n}(\Delta f) = \Delta^{n+1} f$. L'hypothèse de récurrence appliquée à $g$ fournit $c' \in \,]x\,,x + n[$ tel que $$\Delta^{n+1} f(x) = \Delta^{n} g(x) = g^{(n)}(c') = f^{(n)}(c' + 1) - f^{(n)}(c').$$ La fonction $f^{(n)}$ est dérivable sur $I$, donc continue, et le théorème 5 sur $[c'\,,c' + 1]$ fournit $c \in \,]c'\,,c' + 1[$ tel que $f^{(n)}(c' + 1) - f^{(n)}(c') = f^{(n+1)}(c)$. Enfin $x < c' < c < c' + 1 < x + n + 1$. $$\boxed{\Delta^{n} f(x) = f^{(n)}(c) \text{ avec } c \in \,]x\,,x + n[}$$ C'est une égalité des accroissements finis d'ordre $n$ : la différence $n$-ième « discrète », formée avec un pas égal à $1$, est une dérivée $n$-ième prise en un point inconnu.

3. On applique la question 2 à $f : t \mapsto t^{p}$ sur $\mathbb{R}$, au point $x = 0$. Par la question 1, $\Delta^{n} f(0)$ est la somme cherchée. Or $f^{(n)}$ est la fonction nulle si $p < n$, et la constante $n!$ si $p = n$. $$\boxed{\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k} k^{p} = 0 \ \text{ si } 1 \leqslant p \leqslant n - 1, \qquad \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k} k^{n} = n!}$$ Pour $n = 3$, on vérifie que $3 - 3 \times 2^{3} + 3^{3} = 6 = 3!$ ✓. Ces sommes ont un sens combinatoire : avec les outils de dénombrement du chapitre 21, on pourra montrer que $\sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^{p}$ compte les surjections d'un ensemble à $p$ éléments sur un ensemble à $n$ éléments. Il n'y en a aucune si $p < n$, et il y en a $n!$ si $p = n$, puisque ce sont alors les bijections. Pour $p = n + 1$, le calcul est plus riche : avec $n = 2$, la somme vaut $-2 + 2^{3} = 6$, et $f''(t) = 6t$ impose $c = 1$, le milieu de $]0\,,2[$.

4. Soit $n$ un entier strictement supérieur à $\alpha$, et $f : t \mapsto t^{\alpha} = \mathrm{e}^{\alpha\ln t}$ sur $]0\,,+\infty[$, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, avec $$f^{(n)}(t) = \alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)\,t^{\alpha - n}.$$ Pour tout entier $k \geqslant 1$, la question 1 montre que $\Delta^{n} f(k)$ est une combinaison à coefficients entiers des entiers $(k + i)^{\alpha}$ : c'est un entier. La question 2 fournit $c_{k} \in \,]k\,,k + n[$ tel que $\Delta^{n} f(k) = f^{(n)}(c_{k})$. Comme $\alpha - n < 0$ et que $c_{k} > k$, on a $\lim\limits_{k \to +\infty} f^{(n)}(c_{k}) = 0$. Une suite d'entiers de limite nulle est nulle à partir d'un certain rang, puisque ses termes finissent par être dans $\big]-\frac{1}{2}\,,\frac{1}{2}\big[$. Il existe donc $k$ tel que $f^{(n)}(c_{k}) = 0$, avec $c_{k} > 0$, ce qui impose $\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1) = 0$, soit $\alpha \in [\![0\,;n - 1]\!]$. $$\boxed{\alpha \in \mathbb{N}^{*}}$$

À retenir. La question 4 associe deux informations de natures différentes : une information arithmétique, les valeurs entières, et une information analytique, la petitesse de $f^{(n)}$. Ensemble, elles forcent une différence $n$-ième à être nulle, ce qui est très contraignant. Ce procédé, qui fait passer d'un entier petit à un entier nul, est au cœur de nombreuses démonstrations d'irrationalité ; l'exercice 52 en donne un autre exemple.