Exercice 50

1. Les deux termes de la somme sont positifs, donc chacun est inférieur à $1$. De $f(x)^{2} \leqslant 1$, on tire $|f(x)| \leqslant 1$ ; de $\big(1 + f'(x)\big)^{2} \leqslant 1$, on tire $-1 \leqslant 1 + f'(x) \leqslant 1$, soit $$\boxed{|f| \leqslant 1 \qquad\text{et}\qquad -2 \leqslant f' \leqslant 0}$$ Ainsi $f$ est décroissante (théorème 7) et bornée : par le théorème de la limite monotone du chapitre 8, elle admet des limites finies $L$ en $+\infty$ et $L'$ en $-\infty$, avec $L \leqslant f \leqslant L'$.

2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, le théorème des accroissements finis fournit un réel $c_{n} \in \,]n\,,n + 1[$ tel que $$f'(c_{n}) = f(n + 1) - f(n).$$ On a $c_{n} \geqslant n$, donc $c_{n}$ tend vers $+\infty$, et $f(n + 1) - f(n)$ tend vers $L - L = 0$. $$\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} f'(c_{n}) = 0}$$

3. L'hypothèse en $c_{n}$ donne $f(c_{n})^{2} \leqslant 1 - \big(1 + f'(c_{n})\big)^{2}$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, le membre de droite tend vers $1 - 1 = 0$, et le membre de gauche vers $L^{2}$, par composition des limites. Ainsi $L^{2} \leqslant 0$, et $L = 0$. Le même raisonnement, sur les segments $[-n - 1\,,-n]$, donne $L' = 0$. Finalement $0 = L \leqslant f(x) \leqslant L' = 0$ pour tout $x$. $$\boxed{f = 0}$$ Réciproquement, la fonction nulle vérifie l'hypothèse avec égalité. Géométriquement, le point de coordonnées $f(x)$ et $1 + f'(x)$ est dans le disque unité fermé ; la seule façon d'y rester sur tout $\mathbb{R}$ est d'être immobile en son point $(0, 1)$.