Exercice 51

1. Soit $a$ le coefficient dominant de $P$. En $+\infty$, $P(x)$ a le signe de $a$ pour $x$ assez grand, et tend vers $\pm\infty$ ; comme $P \geqslant 0$, on a $a > 0$. En $-\infty$, $P(x)$ a le signe de $(-1)^{n}a$, d'où $(-1)^{n} > 0$ : $n$ est pair. Enfin, $Q = P + P' + \cdots + P^{(n)}$ a le même terme dominant $ax^{n}$ que $P$, puisque les dérivées sont de degré strictement inférieur. Avec $n$ pair et $a > 0$, $$\boxed{n \text{ est pair}, \ a > 0, \ \lim\limits_{x \to \pm\infty} Q(x) = +\infty}$$

2. D'après la question 1, il existe $A > 0$ tel que $Q(x) > Q(0)$ pour $|x| > A$. La fonction continue $Q$ atteint son minimum sur le segment $[-A\,,A]$ en un point $x_{0}$ (chapitre 8), et $Q(x_{0}) \leqslant Q(0) < Q(x)$ pour $|x| > A$ : $\boxed{Q \text{ admet en } x_{0} \text{ un minimum global}}$.

3. Comme $P^{(n+1)} = 0$, la différence est télescopique : $$Q - Q' = \big(P + P' + \cdots + P^{(n)}\big) - \big(P' + P'' + \cdots + P^{(n+1)}\big) = P.$$ Le minimum $x_{0}$ est intérieur à $\mathbb{R}$, donc $Q'(x_{0}) = 0$ par la proposition 2, et $Q(x_{0}) = P(x_{0}) \geqslant 0$. Pour tout réel $x$, $Q(x) \geqslant Q(x_{0}) \geqslant 0$. $$\boxed{Q \geqslant 0 \text{ sur } \mathbb{R}}$$ L'idée est de regarder $Q$ là où il est le plus petit : en ce point, la relation $Q = P + Q'$ se réduit à $Q = P$, dont on connaît le signe.