Exercice 40

1. La fonction $|f''|$ est continue sur le segment $[a\,,b]$ : elle y est bornée et atteint sa borne supérieure $M$ (chapitre 8). La fonction $q : x \mapsto (x - a)(b - x)$ a pour dérivée seconde $-2$, donc $$g'' = f'' + M \geqslant 0 \qquad\text{et}\qquad h'' = f'' - M \leqslant 0.$$ Par le théorème 11, $\boxed{g \text{ est convexe et } h \text{ est concave}}$.

2. On a $g(a) = g(b) = 0$, et la courbe de la fonction convexe $g$ est au-dessous de sa corde joignant ces deux points, qui est le segment $[a\,,b]$ de l'axe des abscisses : $g \leqslant 0$. De même, $h(a) = h(b) = 0$ et $h$ est concave, donc $h \geqslant 0$. Ces deux inégalités s'écrivent $$\boxed{|f(x)| \leqslant \frac{M}{2}(x - a)(b - x) \text{ pour } x \in [a\,,b]}$$ Le maximum de $(x - a)(b - x)$ est atteint au milieu $\frac{a + b}{2}$, où il vaut $\frac{(b - a)^{2}}{4}$, d'où $$\boxed{|f| \leqslant \frac{M(b - a)^{2}}{8}}$$ La majoration est optimale : pour $f(x) = (x - a)(b - x)$, on a $M = 2$, et l'inégalité est une égalité au milieu du segment. Cette estimation sera utilisée pour majorer l'erreur commise lorsqu'on remplace une fonction par son interpolation affine.