Exercice 39

1. Soit $\eta > 0$ tel que $f(a) \leqslant f(x)$ pour $|x - a| < \eta$, et $y$ un réel distinct de $a$. Pour $\lambda \in \,]0\,,1]$ assez petit, le point $x = (1 - \lambda)a + \lambda y$ vérifie $|x - a| = \lambda|y - a| < \eta$, donc $$f(a) \leqslant f(x) \leqslant (1 - \lambda)f(a) + \lambda f(y), \qquad\text{d'où}\qquad \lambda f(a) \leqslant \lambda f(y).$$ On divise par $\lambda > 0$ : $\boxed{f(a) \leqslant f(y) \text{ pour tout } y, \text{ le minimum est global}}$.

Pour un maximum local en $a$, avec $f(a) \geqslant f(x)$ pour $|x - a| < \eta$, on écrit, pour $0 < h < \eta$, que $a$ est le milieu de $a - h$ et $a + h$ : $$f(a) \leqslant \frac{f(a - h) + f(a + h)}{2} \leqslant f(a).$$ Les deux valeurs $f(a \pm h)$ sont inférieures à $f(a)$ et de moyenne au moins $f(a)$ : elles sont égales à $f(a)$. Ainsi $\boxed{f \text{ est constante au voisinage de } a}$, mais ce maximum n'est pas nécessairement global : $x \mapsto \max(0, x)$, convexe par l'exercice 38, a un maximum local en $-1$, qui n'est pas global.

2. Supposons $f$ croissante et non constante : il existe $x < y$ tels que $f(x) < f(y)$, et la pente $s = \frac{f(y) - f(x)}{y - x}$ est strictement positive. Par la proposition 9, la courbe est au-dessus de la sécante $(xy)$ en dehors de $[x\,,y]$ : pour $t > y$, $f(t) \geqslant f(y) + s(t - y)$, qui tend vers $+\infty$. $$\boxed{f \text{ est constante, ou } \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty}$$

3. Montrons que $f$ est décroissante. Sinon, il existe $x < y$ tels que $f(x) < f(y)$, et l'argument de la question 2, qui n'utilisait que cette inégalité, donne $\lim\limits_{+\infty} f = +\infty$, ce qui contredit l'hypothèse. Ainsi $f$ est décroissante, et pour tout réel $x$, $f(x) \geqslant \lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = 0$. $$\boxed{f \text{ est décroissante et positive}}$$ Une fonction convexe qui tend vers $0$ en $+\infty$ y arrive donc par valeurs supérieures, en décroissant, comme $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

4. La fonction $g : x \mapsto f(x) - \alpha x - \beta$ est convexe, comme somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine, et tend vers $0$ en $+\infty$ par définition de l'asymptote. Par la question 3, $g \geqslant 0$ : $$\boxed{\text{la courbe de } f \text{ est au-dessus de son asymptote en } +\infty}$$ Par exemple, la courbe de $x \mapsto \sqrt{x^{2} + 1}$ est au-dessus de son asymptote $y = x$ en $+\infty$.