Exercice 41

1. La fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $[0\,,+\infty[$, et $$f'(x) = \mathrm{e}^{-x/2}\Big(1 - \frac{x + 2}{2}\Big) = -\frac{x}{2}\,\mathrm{e}^{-x/2}, \qquad f''(x) = \mathrm{e}^{-x/2}\Big(-\frac{1}{2} + \frac{x}{4}\Big) = \frac{x - 2}{4}\,\mathrm{e}^{-x/2}.$$ La fonction $f$ est donc décroissante sur $[0\,,+\infty[$, de $f(0) = 2$ vers $0$, par croissances comparées. Elle est concave sur $[0\,,2]$ et convexe sur $[2\,,+\infty[$. Comme $f''$ s'annule en $2$ en changeant de signe, le point d'abscisse $2$ est un point d'inflexion, d'après la réciproque de la proposition 10. On a $f(2) = \frac{4}{\mathrm{e}} \approx 1{,}47$ et $f'(2) = -\frac{1}{\mathrm{e}}$, d'où la tangente $y = \frac{4}{\mathrm{e}} - \frac{x - 2}{\mathrm{e}}$. $$\boxed{\text{point d'inflexion } \big(2, \tfrac{4}{\mathrm{e}}\big), \text{ de tangente } y = \frac{6 - x}{\mathrm{e}}}$$

La courbe bleue est au-dessous de sa tangente rouge avant $2$, où elle est concave, et au-dessus après, où elle est convexe : elle la traverse au point d'inflexion.

2. La vitesse de baisse de la concentration est $|f'(x)| = \frac{x}{2}\mathrm{e}^{-x/2}$. Sa dérivée est $-f''(x)$, positive sur $[0\,,2]$ et négative ensuite : la baisse s'accélère pendant deux heures, puis ralentit. $$\boxed{\text{la baisse commence à ralentir au bout de deux heures}}$$ C'est exactement l'abscisse du point d'inflexion : la pente $f'$, croissante sur la partie convexe et décroissante sur la partie concave, y atteint son minimum, c'est-à-dire la baisse la plus rapide, égale à $\frac{1}{\mathrm{e}} \approx 0{,}37$ unité par heure.

3. Soit $P(x) = \alpha x^{3} + \beta x^{2} + \gamma x + \delta$, avec $\alpha \neq 0$. On a $P''(x) = 6\alpha x + 2\beta$, qui s'annule uniquement en $a = -\frac{\beta}{3\alpha}$, en changeant de signe. Par la réciproque de la proposition 10, le point $A = (a, P(a))$ est un point d'inflexion, et c'est le seul, puisque tout point d'inflexion annule $P''$. Développons ensuite $P(a + t)$ par la formule du binôme : c'est un polynôme de degré $3$ en $t$, qu'on écrit $\alpha t^{3} + bt^{2} + ct + P(a)$. Sa dérivée seconde en $t = 0$ vaut $2b$, et aussi $P''(a) = 0$, donc $b = 0$. Ainsi $$P(a + t) = \alpha t^{3} + ct + P(a), \qquad\text{d'où}\qquad P(a + t) + P(a - t) = 2P(a) \text{ pour tout } t.$$

$$\boxed{\text{la courbe d'un polynôme de degré } 3 \text{ a un unique point d'inflexion } A, \text{ dont elle est symétrique}}$$ L'égalité obtenue dit que $A$ est le milieu des points d'abscisses $a + t$ et $a - t$ de la courbe.