Exercice 1

(a) La moyenne. Elle est commutative, puisque $\frac{x + y}{2} = \frac{y + x}{2}$. Elle n'est pas associative : $(0 \star 0) \star 4 = 2$, alors que $0 \star (0 \star 4) = 1$. Si $e$ était neutre, on aurait $\frac{x + e}{2} = x$, soit $e = x$, pour tout réel $x$, ce qui est impossible. $$\boxed{\text{commutative, non associative, sans neutre}}$$

(b) Le maximum. Il est associatif et commutatif, car $\max(\max(x, y), z)$ et $\max(x, \max(y, z))$ valent tous deux le plus grand des trois nombres. Sur $\mathbb{R}_{+}$, le réel $0$ est neutre, puisque $\max(x, 0) = x$ pour $x \geqslant 0$ ; un élément $x$ est inversible si $\max(x, y) = 0$ pour un $y \geqslant 0$, ce qui impose $x = 0$. Sur $\mathbb{R}$, un neutre $e$ vérifierait $\max(e - 1, e) = e - 1$, ce qui est faux. $$\boxed{\text{sur } \mathbb{R}_{+} : \text{neutre } 0, \text{ seul } 0 \text{ inversible} ; \quad \text{sur } \mathbb{R} : \text{pas de neutre}}$$

(c) La différence. Avec $E \neq \varnothing$, on a $E \setminus \varnothing = E$ et $\varnothing \setminus E = \varnothing$ : la loi n'est pas commutative. On a $(E \setminus E) \setminus E = \varnothing$ et $E \setminus (E \setminus E) = E$ : elle n'est pas associative. La partie $\varnothing$ vérifie $A \setminus \varnothing = A$, mais $\varnothing \setminus A = \varnothing \neq A$ dès que $A \neq \varnothing$ : elle n'est neutre qu'à droite. Un neutre $N$ vérifierait $N \setminus A = A$ pour tout $A$, donc $N \setminus N = N$, soit $N = \varnothing$, ce qui vient d'être exclu. $$\boxed{\text{ni associative, ni commutative, sans neutre}}$$

(d) La puissance. On a $(2^{3})^{2} = 64$ et $2^{(3^{2})} = 512$, puis $2^{3} = 8 \neq 9 = 3^{2}$. L'entier $1$ vérifie $a^{1} = a$, mais $1^{a} = 1 \neq a$ pour $a \geqslant 2$ : comme pour la différence, il n'est neutre que d'un côté. $$\boxed{\text{ni associative, ni commutative, sans neutre}}$$

(e) La loi $a + b + ab$. On reconnaît $a \star b = (1 + a)(1 + b) - 1$. Ainsi $$(a \star b) \star c = (1 + a)(1 + b)(1 + c) - 1 = a \star (b \star c),$$ la loi est commutative, et $0$ est neutre. L'entier $a$ est inversible s'il existe $b \in \mathbb{Z}$ tel que $(1 + a)(1 + b) = 1$, c'est-à-dire si $1 + a \in \{-1, 1\}$. $$\boxed{\text{associative, commutative, neutre } 0, \text{ inversibles } 0 \text{ et } -2}$$ À retenir. La bijection $a \mapsto 1 + a$ transporte cette loi sur la multiplication de $\mathbb{Z}$ ; c'est pourquoi elle en a toutes les propriétés, et les inversibles $0$ et $-2$ correspondent aux inversibles $1$ et $-1$ de $(\mathbb{Z}, \times)$. L'exercice 9 exploite la même idée.