ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 11 — Structures algébriques usuelles · Lois de composition interne

Exercice 2

Calcul

On note $E = \{1, 2\}$ et $\mathcal{F}(E, E)$ l'ensemble des applications de $E$ dans $E$ . Ces applications sont l'identité $\mathrm{id}$ , l'échange $s$ de $1$ et $2$ , et les deux applications constantes $c_{1}$ et $c_{2}$ , de valeurs $1$ et $2$ .

1. Compléter la table de la composition, où la case de la ligne $f$ et de la colonne $g$ contient $f \circ g$ .

\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline \circ & \mathrm{id} & s & c_{1} & c_{2} \\ \hline \hline \mathrm{id} & & & & \\ \hline s & & & & \\ \hline c_{1} & & & & \\ \hline c_{2} & & & & \\ \hline \end{array}

2. Lire sur la table l'élément neutre, les éléments inversibles et un couple d'éléments qui ne commutent pas.

3. La remarque du cours qui suit la proposition 3 affirme que, dans la table d'un groupe fini, chaque élément apparaît une fois par ligne. Quelles lignes de cette table la vérifient ? Qu'en conclure ?

Corrigé

1. On calcule chaque composée en évaluant en $1$ et en $2$ . Par exemple, $(s \circ c_{1})(x) = s(1) = 2$ , donc $s \circ c_{1} = c_{2}$ , tandis que $(c_{1} \circ s)(x) = 1$ , donc $c_{1} \circ s = c_{1}$ .

\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline \circ & \mathrm{id} & s & c_{1} & c_{2} \\ \hline \hline \mathrm{id} & \mathrm{id} & s & c_{1} & c_{2} \\ \hline s & s & \mathrm{id} & c_{2} & c_{1} \\ \hline c_{1} & c_{1} & c_{1} & c_{1} & c_{1} \\ \hline c_{2} & c_{2} & c_{2} & c_{2} & c_{2} \\ \hline \end{array}

2. La ligne et la colonne de $\mathrm{id}$ reproduisent les en-têtes : $\mathrm{id}$ est neutre. Un élément est inversible si sa ligne contient $\mathrm{id}$ dans une colonne dont la ligne contient aussi $\mathrm{id}$ au même endroit : seuls $\mathrm{id}$ et $s$ le sont, et $s^{-1} = s$ . Enfin $s \circ c_{1} = c_{2}$ et $c_{1} \circ s = c_{1}$ . $\boxed{\text{neutre } \mathrm{id} ; \quad \text{inversibles } \mathrm{id} \text{ et } s ; \quad s \circ c_{1} \neq c_{1} \circ s}$

3. Seules les lignes de $\mathrm{id}$ et de $s$ contiennent chaque élément une fois ; les lignes de $c_{1}$ et $c_{2}$ sont constantes. On retrouve ainsi que $(\mathcal{F}(E, E), \circ)$ n'est pas un groupe : $c_{1}$ et $c_{2}$ , qui ne sont pas injectives, ne sont pas inversibles (chapitre 2, théorème 1). En revanche, la partie $\{\mathrm{id}, s\}$ , qui est $\mathfrak{S}_{E}$ , est un groupe.

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Dans l'édifice

Lois de composition interne Monoïdes et éléments inversibles

Thèmes

lois de composition interne, élément neutre, éléments inversibles

Notions

loi de composition interne, élément neutre, inversible