Exercice 3

1. Par associativité, on calcule de deux façons le produit $a \star x \star b$ : $$a = a \star e = a \star (x \star b) = (a \star x) \star b = e \star b = b.$$

$$\boxed{a = b, \text{ et } x \text{ est inversible, d'inverse } a}$$ C'est la démonstration du point (i) de la proposition 2, qui ne demande en fait qu'un inverse de chaque côté.

2. Pour toute application $g$ telle que $g(n) = n - 1$ pour $n \geqslant 1$, la valeur $g(0)$ étant quelconque, on a $g(d(n)) = g(n + 1) = n$ pour tout $n$ : chaque choix de $g(0) \in \mathbb{N}$ fournit une solution de $g \circ d = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$, et il y en a une infinité. Si $d \circ h = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$, alors $0 = d(h(0)) = h(0) + 1$, ce qui est impossible dans $\mathbb{N}$. $$\boxed{\text{une infinité d'inverses à gauche, aucun inverse à droite}}$$

3. La question 1 suppose l'existence d'un inverse de chaque côté, ce qui n'est pas le cas ici. La proposition 2 affirme l'unicité de l'inverse, défini comme un élément qui convient des deux côtés ; un inverse d'un seul côté peut ne pas être unique. L'application $d$ est injective sans être surjective : elle n'est pas inversible.