Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 11

Structures algébriques usuelles

59 exercices corrigés · 12   29   11   7

Lois de composition interne

• Exercice 1 Pour chacune des lois suivantes, dire si elle est associative, si elle est commutative, si elle admet un élément neutre et, le cas échéant,…
• Exercice 2 On note E = 1, 2 et F(E, E) l'ensemble des applications de E dans E. Ces applications sont l'identité id, l'échange s de 1 et 2, et les deux…
• Exercice 3 Inverse à gauche, inverse à droite. Soit star une loi associative sur un ensemble E, d'élément neutre e. 1. Soit x ∈ E. On suppose qu'il existe a et…
• Exercice 4 Éléments simplifiables. Soit E un ensemble ayant au moins deux éléments, et f ∈ F(E, E). 1. Montrer que f est simplifiable à gauche pour la…
• Exercice 5 Une table trompeuse. On munit l'ensemble E = e, a, b, c, d, f de la loi star définie par la table suivante, où la case de la ligne x et de la…
• Exercice 6 Soit star une loi de composition interne sur un ensemble E, et A = x ∈ E mid ∀ (y, z) ∈ E^2, x star (y star z) = (x star y) star z. Montrer que A…
• Exercice 7 L'argument d'Eckmann et Hilton. Soit X un ensemble muni de deux lois de composition interne ast et otimes, admettant chacune un élément neutre,…

Groupes

• Exercice 8 Les ensembles suivants, munis de la loi indiquée, sont-ils des groupes ? Le cas échéant, sont-ils abéliens ? (a) ℤ, avec a star b = a + b + 1; (b)…
• Exercice 9 Sur G = ℝ setminus 1, on pose x star y = x + y - xy. 1. Calculer 1 - x star y en fonction de 1 - x et 1 - y. En déduire que star est une loi de…
• Exercice 10 Le groupe affine. Sur G = ℝ^() × ℝ, on définit la loi (x, y) star (x', y') = (xx', xy' + y). 1. Pour (x, y) ∈ G, on note f_x,y l'application t ↦ xt…
• Exercice 11 Transport de structure. 1. Soit (G, ast) un groupe, E un ensemble et f: G → E une bijection. Montrer que la loi définie par x star y = f (f^(-1)(x)…
• Exercice 12 Soit G un groupe dans lequel tout élément x vérifie x^2 = e. Montrer que G est abélien. Donner un exemple d'un tel groupe ayant au moins quatre…
• Exercice 13 Soit G un groupe, et x, y deux éléments de G tels que x^3 = e et xyx^(-1) = y^2. 1. Montrer que, pour tout k ∈ ℕ, (xyx^(-1))^k = xy^kx^(-1). 2. En…
• Exercice 14 Le centre d'un groupe. Soit G un groupe. On appelle centre de G l'ensemble Z(G) = x ∈ G mid ∀ a ∈ G, ax = xa. 1. Montrer que Z(G) est un sous-groupe…
• Exercice 15 Dans chaque cas, dire si H est un sous-groupe du groupe G. (a) G = (ℤ, +) et H est l'ensemble des entiers pairs, puis celui des entiers impairs. (b)…
• Exercice 16 1. Montrer que 𝕌_∞ = z ∈ ℂ^() mid ∃ n ∈ ℕ^(), z^n = 1, ensemble des racines de l'unité, est un sous-groupe de (ℂ^(), ×). Est-il égal à 𝕌 ? On…
• Exercice 17 Les solutions entières de x^2 - 3y^2 = 1. On pose H = x + y√3 mid x ∈ ℕ, y ∈ ℤ, x^2 - 3y^2 = 1. On admet que √3 est irrationnel, ce qui se démontre…
• Exercice 18 Réunion de sous-groupes. Soit G un groupe, et H, K deux sous-groupes de G. 1. Montrer que H ∪ K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂ K ou…
• Exercice 19 Soit G un groupe et (H_n)_(n ∈ ℕ) une suite de sous-groupes de G, croissante pour l'inclusion. 1. Montrer que bigcup _(n ∈ ℕ) H_n est un sous-groupe…
• Exercice 20 Sous-groupe engendré par une partie. Soit G un groupe et X une partie de G. On note langle X rangle l'intersection de tous les sous-groupes de G qui…
• Exercice 21 Périodes d'une fonction. Soit f: ℝ → ℝ. On note P(f) l'ensemble des réels T tels que l'on ait f(x + T) = f(x) pour tout réel x: ce sont les périodes…
• Exercice 22 Traduire chacune des égalités suivantes en disant qu'une application est un morphisme entre deux groupes que l'on précisera. Déterminer ensuite le…
• Exercice 23 Soit G un groupe. Montrer que l'application x ↦ x^2 est un endomorphisme de G si et seulement si G est abélien. Même question pour x ↦ x^(-1).
• Exercice 24 L'exponentielle complexe. 1. Justifier que exp est un morphisme de (ℂ, +) dans (ℂ^(), ×), et déterminer son image et son noyau. 2. Soit a ∈ ℂ^() et…
• Exercice 25 Morphismes de source ℤ ou ℚ. 1. Soit G un groupe et f un morphisme de (ℤ, +) dans G. Montrer que f(n) = f(1)^n pour tout n ∈ ℤ. Réciproquement,…
• Exercice 26 Automorphismes intérieurs. Soit G un groupe. Pour a ∈ G, on note tau _a: G → G l'application x ↦ axa^(-1). 1. Montrer que tau _a est un…
• Exercice 27 Groupes non isomorphes. Un isomorphisme transporte toute propriété exprimée à l'aide de la seule loi. En exploitant à chaque fois une telle…
• Exercice 28 Montrer que l'application z ↦ (z/(|z|), |z|) est un isomorphisme du groupe (ℂ^(), ×) sur le groupe produit 𝕌 × ℝ_(+)^(). En déduire que (ℂ^(), ×)…
• Exercice 29 Soit G un groupe fini et f un morphisme de G dans (ℂ^(), ×) qui n'est pas constant. On pose S = Σ_(x ∈ G) f(x). 1. Soit a ∈ G tel que f(a) ≠ 1.…
• Exercice 30 Le théorème de Cayley. Soit G un groupe. Pour g ∈ G, on note σ_g: G → G l'application x ↦ gx. 1. Montrer que σ_g est une permutation de G, et que…
• Exercice 31 Le théorème de Lagrange. Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On note card le nombre d'éléments, comme au chapitre 2. 1. On définit sur G…
• Exercice 32 Noyau, image et nombre d'éléments. Soit f: G → G' un morphisme de groupes, G étant fini. 1. À l'aide du théorème 2 du cours et du lemme des bergers,…
• Exercice 33 Les sous-groupes de mathfrak S_3. On note t_1, t_2, t_3 les trois permutations de 1, 2, 3 qui échangent deux éléments et fixent le troisième, t_k…

Anneaux et corps

• Exercice 34 Dans chaque cas, dire si B est un sous-anneau de l'anneau A, muni des opérations usuelles. (a) A = ℤ et B = ℕ, puis B = 2ℤ. (b) A = ℝ^ℕ, anneau des…
• Exercice 35 Les rationnels à dénominateur impair. On note A l'ensemble des rationnels qui peuvent s'écrire m/n, avec m ∈ ℤ et n entier naturel impair. 1.…
• Exercice 36 Soit A un anneau, et a, b deux éléments de A. 1. Montrer que (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 si et seulement si a et b commutent. 2. On suppose que 1 -…
• Exercice 37 Les nombres duaux. Sur ℝ^2, on définit l'addition terme à terme et la multiplication (a, b) × (c, d) = (ac, ad + bc). 1. Montrer que (ℝ^2, +, ×) est…
• Exercice 38 Un anneau non commutatif. Soit (G, +) un groupe abélien, et End(G) l'ensemble de ses endomorphismes. Pour f et g dans End(G), on note f + g…
• Exercice 39 Éléments nilpotents. Un élément x d'un anneau A est dit nilpotent s'il existe n ∈ ℕ^() tel que x^n = 0. 1. Montrer que, dans un anneau intègre, le…
• Exercice 40 Anneaux de Boole. Un anneau A est dit de Boole si x^2 = x pour tout x ∈ A. 1. Montrer que, pour tout ensemble E, l'anneau (P(E), Δ, ∩) du cours est…
• Exercice 41 Les entiers d'Eisenstein. On note j = e^(2 iπ/3) et ℤ[j] = a + bj mid (a, b) ∈ ℤ^2. 1. Vérifier que j^2 = -1 - j, et en déduire que ℤ[j] est un…
• Exercice 42 Les inversibles de ℤ[√2]. On note A = ℤ[√2], sous-anneau de ℝ d'après l'exercice 34, et, pour x = a + b√2 avec a, b entiers, σ(x) = a - b√2 et N(x)…
• Exercice 43 Les anneaux commutatifs suivants sont-ils des corps ? Justifier chaque réponse. (a) ℚ(i) = a + i b mid (a, b) ∈ ℚ^2, sous-anneau de ℂ; (b) l'anneau…
• Exercice 44 Anneaux intègres finis. 1. Soit A un anneau intègre fini, et a ∈ A setminus 0. Montrer que l'application x ↦ ax est injective, puis, à l'aide du…
• Exercice 45 Morphismes d'anneaux. 1. Soit A un anneau. Montrer qu'il existe un unique morphisme d'anneaux de ℤ dans A. 2. Montrer que le seul endomorphisme de…

Exercices de synthèse

• Exercice 46 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Toute loi de composition interne associative admet un élément…
• Exercice 47 Les lois que respectent toutes les permutations. Soit E un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne star. On suppose que toute…
• Exercice 48 Ce que les idempotents savent des intervalles. Un élément p d'un anneau A est dit idempotent si p^2 = p; par exemple, 0 et 1 sont idempotents. Pour…
• Exercice 49 Les groupes à quatre éléments. Soit G un groupe à quatre éléments, de neutre e. On utilise le théorème de Lagrange et la notion d'ordre de…
• Exercice 50 Combien faut-il de générateurs ? Pour un groupe fini G, on appelle rang de G, et l'on note r(G), le plus petit nombre d'éléments d'une partie X de G…
• Exercice 51 Un point fixe commun. On note G le groupe des bijections affines t ↦ at + b de ℝ dans ℝ, avec a ≠ 0, étudié à l'exercice 10. Soit Gamma un…
• Exercice 52 Les nombres constructibles à la règle et au compas. Le plan est muni d'un repère orthonormé, et l'on part des deux points O(0, 0) et I(1, 0). On…
• Exercice 53 Les sous-groupes de (ℝ, +). Soit H un sous-groupe de (ℝ, +), non réduit à 0. 1. Montrer que H ∩ ]0,+∞[ est non vide, et qu'il admet une borne…
• Exercice 54 Soit G un groupe qui possède un nombre fini de sous-groupes. Montrer que G est fini.
• Exercice 55 Soit A et B deux parties d'un groupe fini G. On suppose |A| + |B| > |G|. 1. Montrer que G = ab mid a ∈ A, b ∈ B. 2. Montrer que la question…
• Exercice 56 Soit G un groupe fini non abélien. On note Z(G) = x ∈ G mid ∀ y ∈ G, xy = yx son centre. 1. Montrer que |G| ≥ 4 |Z(G)|. 2. Montrer que la…
• Exercice 57 Soit H un sous-groupe strict d'un groupe fini G. On note, pour x ∈ G, xHx^(-1) = xhx^(-1) mid h ∈ H. 1. Montrer que la relation ∼ définie sur G par…
• Exercice 58 Soit A un anneau tel que ∀ (x, y) ∈ A^2, xy = ± yx. Montrer que A est commutatif.
• Exercice 59 Soit K un corps. Montrer que les groupes (K, +) et (K^(), ·) ne sont pas isomorphes, où K^() = K setminus 0.