Exercice 33

1. Les six permutations sont distinctes : $\mathrm{id}$ fixe tout, $c$ et $c^{2}$ ne fixent rien, et $t_{k}$ fixe exactement $k$. Comme $\mathfrak{S}_{3}$ a six éléments (on peut les énumérer en choisissant l'image de $1$, puis celle de $2$), ce sont toutes. On calcule chaque composée $f \circ g$, ligne $f$ et colonne $g$, en suivant les images de $1$, $2$, $3$ :

Par exemple, $(c \circ t_{1})(1) = c(1) = 2$, $(c \circ t_{1})(2) = c(3) = 1$ et $(c \circ t_{1})(3) = c(2) = 3$ : $c \circ t_{1} = t_{3}$. La table n'est pas symétrique : $t_{1} \circ c = t_{2} \neq t_{3}$.

2. Un sous-groupe a $1$, $2$, $3$ ou $6$ éléments, par le théorème de Lagrange. Ceux à $1$ et $6$ éléments sont $\{\mathrm{id}\}$ et $\mathfrak{S}_{3}$. Un sous-groupe à $2$ éléments est $\{\mathrm{id}, x\}$ avec $x^{2} = \mathrm{id}$ : ce sont les trois $\{\mathrm{id}, t_{k}\}$. Un sous-groupe à $3$ éléments a $3$ pour cardinal premier, donc il est formé des puissances d'un élément d'ordre $3$ (exercice 31) : c'est $\{\mathrm{id}, c, c^{2}\}$. $$\boxed{\{\mathrm{id}\}, \ \{\mathrm{id}, t_{1}\}, \ \{\mathrm{id}, t_{2}\}, \ \{\mathrm{id}, t_{3}\}, \ \{\mathrm{id}, c, c^{2}\}, \ \mathfrak{S}_{3} : \text{six sous-groupes}}$$

3. Aucun sous-groupe à $2$ éléments n'est contenu dans celui à $3$ éléments, puisque $2$ ne divise pas $3$.

Le schéma se lit comme celui des $\mathbb{U}_{d}$ du cours : chaque trait monte d'un sous-groupe à un sous-groupe qui le contient. Contrairement au cas de $\mathbb{U}_{12}$, il y a plusieurs sous-groupes ayant le même nombre d'éléments.