Exercice 32

1. D'après le point (i) du théorème 2, la fibre de $f$ au-dessus d'un élément $f(x)$ de l'image est $xK$, où $K = \mathrm{Ker}\, f$, et elle a $\mathrm{card}(K)$ éléments (exercice 31, question 2). On applique le lemme des bergers à $f : G \to \operatorname{Im} f$. $$\boxed{\mathrm{card}(G) = \mathrm{card}(\mathrm{Ker}\, f) \times \mathrm{card}(\operatorname{Im} f)}$$

2. Le noyau de $z \mapsto z^{2}$ sur $\mathbb{U}_{n}$ est $\mathbb{U}_{n} \cap \{-1, 1\}$. Si $n$ est impair, il est réduit à $\{1\}$, et l'image a $n$ éléments : c'est $\mathbb{U}_{n}$. Si $n$ est pair, $-1 \in \mathbb{U}_{n}$, et l'image a $\frac{n}{2}$ éléments ; elle est contenue dans $\mathbb{U}_{n/2}$, puisque $(z^{2})^{n/2} = 1$, et a le même nombre d'éléments, donc lui est égale. $$\boxed{\text{image } \mathbb{U}_{n} \text{ si } n \text{ est impair}, \qquad \mathbb{U}_{n/2} \text{ si } n \text{ est pair}}$$

3. Comme $G$ est abélien, $x \mapsto x^{2}$ est un endomorphisme (exercice 23). Si $x^{2} = e$ et $x \neq e$, alors $x$ est d'ordre $2$, et $2$ divise $\mathrm{card}(G)$ (exercice 31), ce qui est exclu. Le noyau est donc $\{e\}$, le morphisme est injectif, donc bijectif puisque $G$ est fini (chapitre 2, théorème 2). $$\boxed{\text{dans un groupe abélien fini de cardinal impair, tout élément est un carré}}$$