Exercice 31

1. On a $x^{-1}x = e \in H$ : la relation est réflexive. Si $x^{-1}y \in H$, son inverse $y^{-1}x$ y est aussi : elle est symétrique. Si $x^{-1}y$ et $y^{-1}z$ sont dans $H$, leur produit $x^{-1}z$ aussi : elle est transitive. Enfin $y \sim x$, c'est-à-dire $x^{-1}y = h \in H$, équivaut à $y = xh$. $$\boxed{\text{la classe de } x \text{ est } xH = \{xh \mid h \in H\}}$$

2. L'application $h \mapsto xh$ est une bijection de $H$ sur $xH$, injective par simplification (proposition 3) : chaque classe a $\mathrm{card}(H)$ éléments. Soit $\mathcal{C}$ l'ensemble des classes, qui est fini, et $\pi : G \to \mathcal{C}$ l'application qui à $x$ associe sa classe. La fibre de $\pi$ au-dessus d'une classe est cette classe elle-même, qui a $\mathrm{card}(H)$ éléments ; le lemme des bergers (chapitre 2, lemme 5) donne $$\boxed{\mathrm{card}(G) = \mathrm{card}(\mathcal{C}) \times \mathrm{card}(H)}$$ et $\mathrm{card}(H)$ divise $\mathrm{card}(G)$.

3. Les éléments $x^{0}, x^{1}, \dots, x^{n}$, où $n = \mathrm{card}(G)$, sont $n + 1$ éléments de $G$ : par le principe des tiroirs (chapitre 2, lemme 1), deux d'entre eux sont égaux, $x^{i} = x^{j}$ avec $i < j$. Alors $x^{j - i} = e$ avec $j - i \geqslant 1$, et l'ensemble des entiers $k \geqslant 1$ tels que $x^{k} = e$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : elle a un plus petit élément $p$.

4. Soit $K = \{e, x, \dots, x^{p-1}\}$. Pour $k \in \mathbb{Z}$, la division euclidienne $k = qp + r$, avec $0 \leqslant r < p$, donne $x^{k} = (x^{p})^{q}x^{r} = x^{r} \in K$. Ainsi $K$ est l'ensemble des $x^{k}$, $k \in \mathbb{Z}$, qui est stable par produit et par inverse : c'est un sous-groupe. Ses éléments sont distincts : si $x^{i} = x^{j}$ avec $0 \leqslant i < j < p$, alors $x^{j - i} = e$ avec $0 < j - i < p$, ce qui contredit la minimalité de $p$. Par la question 2, $p$ divise $n = \mathrm{card}(G)$, et $x^{n} = (x^{p})^{n/p} = e$. $$\boxed{p \mid \mathrm{card}(G), \qquad x^{\mathrm{card}(G)} = e}$$

5. Soit $x \neq e$ dans $G$. Son ordre $p$ divise $q$ et n'est pas $1$, donc $p = q$, et $G = \{e, x, \dots, x^{q-1}\}$. L'application $f : x^{k} \mapsto \mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/q}$ est bien définie, puisque $x^{k} = x^{\ell}$ si et seulement si $q$ divise $k - \ell$ ; c'est un morphisme, car $x^{k}x^{\ell} = x^{k + \ell}$ et $\mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/q}\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\ell\pi/q} = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}(k + \ell)\pi/q}$, et elle est bijective de $G$ sur $\mathbb{U}_{q}$ (chapitre 4). $$\boxed{G \simeq (\mathbb{U}_{q}, \times)}$$ À retenir. Ce résultat, qui porte le nom de Lagrange bien qu'il ne l'ait pas énoncé sous cette forme, est le premier théorème de structure des groupes finis : le cardinal d'un groupe contraint fortement ses sous-groupes.