Exercice 30

1. L'application $\sigma_{g}$ est bijective, de réciproque $\sigma_{g^{-1}}$ (proposition 3). Pour tout $x \in G$, on a $\sigma_{g}(\sigma_{h}(x)) = ghx = \sigma_{gh}(x)$.

2. La relation $\sigma_{gh} = \sigma_{g} \circ \sigma_{h}$ dit que $g \mapsto \sigma_{g}$ est un morphisme de $G$ dans $\mathfrak{S}_{G}$. Si $\sigma_{g} = \mathrm{id}_{G}$, alors $g = \sigma_{g}(e) = e$ : le noyau est trivial, et le morphisme est injectif (théorème 2). Il induit donc un isomorphisme de $G$ sur son image, qui est un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{G}$ (proposition 12). $$\boxed{G \text{ est isomorphe à un sous-groupe de } \mathfrak{S}_{G}}$$

3. Avec $\mathbb{U}_{3} = \{1, j, j^{2}\}$, on a $\sigma_{1} = \mathrm{id}$, puis $$\boxed{\sigma_{j} : 1 \mapsto j, \ j \mapsto j^{2}, \ j^{2} \mapsto 1 ; \qquad \sigma_{j^{2}} : 1 \mapsto j^{2}, \ j \mapsto 1, \ j^{2} \mapsto j}$$ Ce sont les deux permutations circulaires des trois points : $\mathbb{U}_{3}$ s'identifie aux rotations du triangle équilatéral de sommets $1$, $j$, $j^{2}$.