Exercice 29

1. Comme $f$ n'est pas constant et que $f(e) = 1$, il existe $a$ tel que $f(a) \neq 1$. L'application $x \mapsto ax$ est une bijection de $G$, de réciproque $x \mapsto a^{-1}x$ (proposition 3). Ainsi, quand $x$ décrit $G$, $ax$ décrit $G$, et $$f(a) S = \sum_{x \in G} f(a)f(x) = \sum_{x \in G} f(ax) = \sum_{y \in G} f(y) = S.$$ Comme $f(a) \neq 1$, on en déduit $S = 0$. $\boxed{S = 0}$

2. On applique ce résultat à $G = \mathbb{U}_{n}$ et $f : z \mapsto z^{k}$, morphisme de $\mathbb{U}_{n}$ dans $\mathbb{C}^{*}$. Il n'est pas constant, puisque $f(\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}) = \mathrm{e}^{2\mathrm{i} k\pi/n} \neq 1$ lorsque $n$ ne divise pas $k$. $$\boxed{\sum_{z \in \mathbb{U}_{n}} z^{k} = 0 \quad \text{si } n \nmid k}$$ Si $n$ divise $k$, la somme vaut $n$, puisque chaque terme vaut $1$.