Exercice 28

Pour $z \in \mathbb{C}^{*}$, on pose $f(z) = \big(\frac{z}{|z|}, |z|\big)$, qui appartient à $\mathbb{U} \times \mathbb{R}_{+}^{*}$. Comme le module est multiplicatif, $$f(zw) = \Big(\frac{z}{|z|} \cdot \frac{w}{|w|}, \ |z|\,|w|\Big) = f(z) f(w)$$ pour la loi du groupe produit (proposition 6). L'application $(u, r) \mapsto ru$ est la réciproque de $f$, puisque $\frac{ru}{|ru|} = u$ et $|ru| = r$. Ainsi $f$ est un isomorphisme. L'exponentielle est un isomorphisme de $(\mathbb{R}, +)$ sur $(\mathbb{R}_{+}^{*}, \times)$ ; en le combinant avec l'identité de $\mathbb{U}$, on obtient un isomorphisme de $\mathbb{U} \times \mathbb{R}$ sur $\mathbb{U} \times \mathbb{R}_{+}^{*}$, et par composition (proposition 11), $$\boxed{(\mathbb{C}^{*}, \times) \simeq \mathbb{U} \times \mathbb{R}_{+}^{*} \simeq \mathbb{U} \times (\mathbb{R}, +), \qquad z = |z|\,\frac{z}{|z|} = \mathrm{e}^{\ln|z|}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}$$ C'est l'écriture trigonométrique $z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ du chapitre 4 : le produit de deux nombres complexes multiplie les modules et ajoute les arguments.