Exercice 27

Si $f : G \to G'$ est un isomorphisme et si $x^{k} = e$, alors $f(x)^{k} = e'$, et réciproquement par $f^{-1}$ : l'isomorphisme réalise une bijection entre les solutions de $x^{k} = e$ dans $G$ et dans $G'$. Le même argument vaut pour toute propriété exprimée par la seule loi.

(a) Dans $(\mathbb{R}, +)$, l'équation $x + x = 0$ n'a que la solution $0$ ; dans $(\mathbb{R}^{*}, \times)$, l'équation $x^{2} = 1$ en a deux, $1$ et $-1$.

(b) Dans $\mathbb{R}^{*}$, $x^{4} = 1$ a deux solutions, $\pm 1$ ; dans $\mathbb{C}^{*}$, elle en a quatre, les éléments de $\mathbb{U}_{4}$.

(c) Dans $(\mathbb{Q}, +)$, tout élément est le double d'un autre : $x = \frac{x}{2} + \frac{x}{2}$. Dans $(\mathbb{Q}_{+}^{*}, \times)$, cela s'écrirait : tout élément est un carré. Or $2$ n'est pas le carré d'un rationnel, puisque $\sqrt{2}$ est irrationnel (chapitre 7).

(d) Supposons $f : \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{Q}^{*}$ un isomorphisme. Le seul élément d'ordre $2$ de chaque groupe est $-1$, donc $f(-1) = -1$. Tout réel non nul s'écrit $x = \pm y^{2}$, donc $f(x) = f(\pm 1)f(y)^{2} = \pm f(y)^{2}$ : tout élément de $\mathbb{Q}^{*}$ serait, au signe près, un carré de $\mathbb{Q}^{*}$. Or $2$ ne l'est pas. $$\boxed{\text{aucun des quatre couples n'est formé de groupes isomorphes}}$$ Piège. Pour montrer que deux groupes ne sont pas isomorphes, il ne suffit pas de constater qu'un isomorphisme particulier échoue : il faut trouver une propriété, exprimée avec la seule loi, que l'un possède et pas l'autre.