Exercice 26

1. Pour $x$ et $y$ dans $G$, $$\tau_{a}(xy) = axya^{-1} = (axa^{-1})(aya^{-1}) = \tau_{a}(x)\tau_{a}(y), \qquad \tau_{a}(\tau_{b}(x)) = abxb^{-1}a^{-1} = (ab)x(ab)^{-1} = \tau_{ab}(x).$$ Comme $\tau_{e} = \mathrm{id}_{G}$, on a $\tau_{a} \circ \tau_{a^{-1}} = \tau_{a^{-1}} \circ \tau_{a} = \mathrm{id}_{G}$ : $\tau_{a}$ est bijectif. $$\boxed{\tau_{a} \text{ est un automorphisme}, \qquad \tau_{a} \circ \tau_{b} = \tau_{ab}}$$

2. La relation $\tau_{ab} = \tau_{a} \circ \tau_{b}$ dit exactement que $\Phi$ est un morphisme de $G$ dans $(\mathfrak{S}_{G}, \circ)$. Son image est un sous-groupe par la proposition 12.

3. On a $\tau_{a} = \mathrm{id}_{G}$ si et seulement si $axa^{-1} = x$, soit $ax = xa$, pour tout $x$, c'est-à-dire si et seulement si $a \in Z(G)$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \Phi = Z(G)}$$ Pour $G = \mathfrak{S}_{3}$, le centre est réduit à l'identité (exercice 14), donc $\Phi$ est injectif. Pour $G$ abélien, $Z(G) = G$ et $\Phi$ est constant, égal à $\mathrm{id}_{G}$ : il n'est injectif que si $G = \{e\}$.