Exercice 34

On vérifie à chaque fois les trois conditions de la définition : $1 \in B$, stabilité par différence et par produit.

(a) $\mathbb{N}$ n'est pas un sous-anneau de $\mathbb{Z}$, puisque $0 - 1 \notin \mathbb{N}$, et $2\mathbb{Z}$ non plus, puisque $1 \notin 2\mathbb{Z}$.

(b) Les suites convergentes forment un sous-anneau : la suite constante égale à $1$ converge, et la différence et le produit de deux suites convergentes convergent (chapitre 7). Les suites de limite nulle n'en forment pas un, puisque la suite constante $1$ n'en fait pas partie. Les suites bornées en forment un : si $|u_{n}| \leqslant M$ et $|v_{n}| \leqslant M'$, alors $|u_{n} - v_{n}| \leqslant M + M'$ et $|u_{n}v_{n}| \leqslant MM'$.

(c) Les fonctions paires forment un sous-anneau ; les fonctions impaires non, puisque la fonction constante $1$ n'est pas impaire, et que le produit de deux fonctions impaires est pair. Les fonctions continues en forment un (chapitre 8).

(d) $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ contient $1$, est stable par différence, et $$(a + b\sqrt{2})(c + d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt{2} \in \mathbb{Z}[\sqrt{2}].$$ En revanche, $B' = \{a + b\sqrt[3]{2}\}$ ne contient pas $\sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^{2}$. Sinon, $\sqrt[3]{4} = a + b\sqrt[3]{2}$ ; en multipliant par $\sqrt[3]{2}$, $$2 = a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{4} = ab + (a + b^{2})\sqrt[3]{2}.$$ Comme $\sqrt[3]{2}$ est irrationnel, par le raisonnement du chapitre 7 pour $\sqrt{2}$, on obtient $a + b^{2} = 0$ et $ab = 2$, d'où $-b^{3} = 2$, ce qui est impossible dans $\mathbb{Z}$. $$\boxed{\text{sous-anneaux : suites convergentes, bornées ; fonctions paires, continues ; } \mathbb{Z}[\sqrt{2}]}$$