Exercice 35

1. On a $1 = \frac{1}{1} \in A$. Si $x = \frac{m}{n}$ et $y = \frac{m'}{n'}$ avec $n$ et $n'$ impairs, $$x - y = \frac{mn' - m'n}{nn'}, \qquad xy = \frac{mm'}{nn'},$$ et $nn'$ est impair. $\boxed{A \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{Q}}$

2. Si $\frac{m}{n} = \frac{m'}{n'}$ avec $n$ et $n'$ impairs, alors $mn' = m'n$. Le produit $mn'$ a la parité de $m$, puisque $n'$ est impair, et $m'n$ celle de $m'$ : $m$ et $m'$ ont même parité.

3. Si $m$ est impair, $x^{-1} = \frac{n}{m} = \frac{-n}{-m}$ a un dénominateur impair, positif dans l'une des deux écritures : $x$ est inversible dans $A$. Si $m$ est pair et $xy = 1$ avec $y = \frac{p}{q}$, $q$ impair, alors $mp = nq$, où le membre de gauche est pair et celui de droite impair : c'est impossible. $$\boxed{A^{\times} = \Big\{\frac{m}{n} \;\Big|\; m \text{ et } n \text{ impairs}\Big\} ; \quad A \text{ n'est pas un corps, } 2 \text{ n'y est pas inversible}}$$ La question 2 est indispensable : sans elle, la condition « $m$ impair » pourrait dépendre de l'écriture choisie.