Exercice 36

1. Par distributivité, $(a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2}$, qui est égal à $a^{2} + 2ab + b^{2}$ si et seulement si $ba = ab$, par simplification dans le groupe $(A, +)$. $$\boxed{(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \iff ab = ba}$$

2. On pose $c = 1 + bua$, avec $u(1 - ab) = (1 - ab)u = 1$. On calcule, en factorisant $b$ à gauche et $a$ à droite : $$(1 - ba)c = 1 - ba + bua - babua = 1 - ba + b\big(u - abu\big)a = 1 - ba + b\big((1 - ab)u\big)a = 1 - ba + ba = 1,$$ et de même $c(1 - ba) = 1 - ba + b\big(u(1 - ab)\big)a = 1$. $$\boxed{(1 - ba)^{-1} = 1 + b(1 - ab)^{-1}a}$$ La formule se devine en écrivant formellement $\frac{1}{1 - ba} = \sum (ba)^{k} = 1 + b\big(\sum (ab)^{k}\big)a$ ; ce calcul n'a pas de sens en général, mais sa conclusion se vérifie directement.