Exercice 37

1. L'addition fait de $\mathbb{R}^{2}$ un groupe abélien (groupe produit). La multiplication est commutative, par symétrie de la formule, et associative : $$\big((a, b)(c, d)\big)(e, f) = (ace, \ acf + ade + bce) = (a, b)\big((c, d)(e, f)\big).$$ Elle est distributive, puisque ses composantes sont linéaires en chaque facteur, et $(1, 0)(c, d) = (c, d)$. $$\boxed{\text{anneau commutatif d'unité } (1, 0)}$$

2. On a $a + b\varepsilon = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b)$, et $\varepsilon^{2} = (0 \times 0, \, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (0, 0)$. Comme $\varepsilon \neq 0$ et $\varepsilon \times \varepsilon = 0$, l'anneau n'est pas intègre.

3. L'égalité $(a + b\varepsilon)(c + d\varepsilon) = 1$ s'écrit $ac = 1$ et $ad + bc = 0$. Elle a une solution si et seulement si $a \neq 0$, et alors $c = \frac{1}{a}$ et $d = -\frac{b}{a^{2}}$. $$\boxed{a + b\varepsilon \text{ inversible} \iff a \neq 0, \qquad (a + b\varepsilon)^{-1} = \frac{1}{a} - \frac{b}{a^{2}}\varepsilon}$$

4. Les éléments $a$ et $b\varepsilon$ commutent, et $(b\varepsilon)^{k} = 0$ pour $k \geqslant 2$. Le théorème 3 donne $$\boxed{(a + b\varepsilon)^{n} = a^{n} + na^{n-1}b\,\varepsilon}$$ En particulier $(a + \varepsilon)^{k} = a^{k} + ka^{k-1}\varepsilon$, et en sommant avec les coefficients $c_{k}$, $$P(a + \varepsilon) = \sum_{k=0}^{d} c_{k}a^{k} + \Big(\sum_{k=1}^{d} kc_{k}a^{k-1}\Big)\varepsilon = P(a) + P'(a)\varepsilon.$$ Par exemple, pour $P(x) = x^{3} - 2x$, on trouve $(2 + \varepsilon)^{3} - 2(2 + \varepsilon) = 8 + 12\varepsilon - 4 - 2\varepsilon = 4 + 10\varepsilon$, et en effet $P(2) = 4$ et $P'(2) = 10$. ✓ Le terme $\varepsilon^{2} = 0$ joue le rôle du $o(h)$ d'un développement limité à l'ordre $1$ (chapitre 10).