Exercice 38

1. Si $f$ et $g$ sont des endomorphismes, alors, pour $x$ et $y$ dans $G$, $$(f + g)(x + y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = (f + g)(x) + (f + g)(y),$$ où l'on a échangé $f(y)$ et $g(x)$ : c'est là que sert la commutativité de $G$. Ainsi $f + g \in \mathrm{End}(G)$, et $(\mathrm{End}(G), +)$ est un groupe abélien, de zéro l'application nulle et d'opposé $-f : x \mapsto -f(x)$, chaque propriété se vérifiant point par point dans $G$. La composée de deux endomorphismes en est un (proposition 11), la composition est associative, d'unité $\mathrm{id}_{G}$. Enfin, pour tout $x$, $$\big(f \circ (g + h)\big)(x) = f\big(g(x) + h(x)\big) = f(g(x)) + f(h(x)), \qquad \big((g + h) \circ f\big)(x) = g(f(x)) + h(f(x)),$$ la première égalité utilisant que $f$ est un morphisme. $$\boxed{(\mathrm{End}(G), +, \circ) \text{ est un anneau, de zéro } 0 \text{ et d'unité } \mathrm{id}_{G}}$$

2. On évalue en $(a, b)$ : $$(s \circ p)(a, b) = s(a, 0) = (0, a), \qquad (p \circ s)(a, b) = p(b, a) = (b, 0), \qquad (h \circ h)(a, b) = h(0, a) = (0, 0).$$

$$\boxed{s \circ p \neq p \circ s, \qquad h \circ h = 0 \text{ avec } h \neq 0}$$ L'anneau $\mathrm{End}(\mathbb{Z}^{2})$ n'est pas commutatif, et il n'est pas intègre : $h$ est un diviseur de zéro.

3. D'après l'exercice 25, tout endomorphisme de $\mathbb{Z}$ s'écrit $n \mapsto kn$, avec $k = f(1)$. L'application $\Phi : f \mapsto f(1)$ est donc une bijection de $\mathrm{End}(\mathbb{Z})$ sur $\mathbb{Z}$. Elle vérifie $\Phi(f + g) = f(1) + g(1)$, $\Phi(\mathrm{id}) = 1$, et $\Phi(f \circ g) = f(g(1)) = f(1)g(1)$, puisque $f(n) = f(1)n$. $$\boxed{\mathrm{End}(\mathbb{Z}) \simeq \mathbb{Z} \text{ comme anneaux}}$$