Exercice 39

1. Dans un anneau intègre, si $x^{n} = 0$ avec $n$ minimal, et si $n \geqslant 2$, alors $x \cdot x^{n-1} = 0$ avec $x^{n-1} \neq 0$, donc $x = 0$ ; si $n = 1$, $x = 0$ directement. L'élément $\varepsilon$ de l'exercice 37 et l'endomorphisme $h$ de l'exercice 38 sont nilpotents et non nuls.

2. Si $(xy)^{n} = 0$, alors $(yx)^{n+1} = y(xy)^{n}x = 0$. $\boxed{yx \text{ est nilpotent}}$

3. Soit $x^{n} = 0$ et $y^{m} = 0$. Comme $x$ et $y$ commutent, $(xy)^{n} = x^{n}y^{n} = 0$. Par le théorème 3, $$(x + y)^{n + m - 1} = \sum_{k=0}^{n + m - 1} \binom{n + m - 1}{k}x^{k}y^{n + m - 1 - k},$$ et chaque terme est nul : si $k < n$, alors $n + m - 1 - k \geqslant m$ et $y^{n + m - 1 - k} = 0$. $$\boxed{xy \text{ et } x + y \text{ sont nilpotents}}$$

4. On a $h^{2} = 0$ (exercice 38) et $k^{2}(a, b) = k(b, 0) = (0, 0)$. Mais $(h + k)(a, b) = (b, a)$ : c'est l'échange $s$, qui vérifie $s^{2} = \mathrm{id}$, donc ses puissances valent $\mathrm{id}$ ou $s$ et ne sont jamais nulles. De même, $(h \circ k)(a, b) = h(b, 0) = (0, b)$ : c'est un élément $q$ tel que $q^{2} = q \neq 0$, donc $q^{n} = q \neq 0$ pour tout $n$. $$\boxed{h, k \text{ nilpotents}, \quad h + k \text{ et } h \circ k \text{ non nilpotents}}$$ L'hypothèse qui fait défaut est la commutation : $(k \circ h)(a, b) = (a, 0) \neq (0, b)$.

5. Les éléments $1$ et $x$ commutent ; le théorème 3, avec $a = 1$ et $b = x$, donne $$(1 - x)(1 + x + \cdots + x^{n-1}) = 1 - x^{n} = 1,$$ et de même dans l'autre ordre. $\boxed{(1 - x)^{-1} = 1 + x + \cdots + x^{n-1}}$