Exercice 40

1. Pour toute partie $A$, on a $A \cap A = A$.

2. On a $x + x = (x + x)^{2} = x^{2} + x^{2} + x^{2} + x^{2} = 4x$, d'où $x + x = 0$. Ensuite $$x + y = (x + y)^{2} = x^{2} + xy + yx + y^{2} = x + y + xy + yx,$$ donc $xy + yx = 0$, soit $xy = -yx = yx$, puisque tout élément est son propre opposé. $$\boxed{x = -x, \qquad xy = yx}$$

3. Si $A$ est intègre, $x^{2} = x$ s'écrit $x(x - 1) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 1$ ; comme $A$ est non nul, $0 \neq 1$. $$\boxed{\text{un anneau de Boole intègre a exactement deux éléments}}$$ L'anneau $\mathcal{P}(E)$ est donc intègre si et seulement si $E$ a un seul élément : pour $E = \varnothing$, c'est l'anneau nul, et si $E$ a deux éléments distincts $a$ et $b$, $\{a\} \cap \{b\} = \varnothing$ (cours).

4. Un sous-anneau contenant $X$ contient l'unité $E$, le zéro $\varnothing$, et $E \,\Delta\, X = E \setminus X$. Réciproquement, $S = \{\varnothing, X, E \setminus X, E\}$ contient $E$, et il est stable par $\Delta$ et par $\cap$, comme on le vérifie sur les couples d'éléments de $S$ : par exemple $X \,\Delta\, (E \setminus X) = E$ et $X \cap (E \setminus X) = \varnothing$. Dans cet anneau, la différence est $\Delta$, puisque tout élément est son propre opposé. $$\boxed{\{\varnothing, X, E \setminus X, E\} \text{ est le plus petit sous-anneau contenant } X}$$