Exercice 41

1. Le nombre $j$ est racine de $z^{2} + z + 1$, puisque $1 + j + j^{2} = 0$ (chapitre 4). L'ensemble $\mathbb{Z}[j]$ contient $1$, est stable par différence, et $$(a + bj)(c + dj) = ac + (ad + bc)j + bd\,j^{2} = (ac - bd) + (ad + bc - bd)j \in \mathbb{Z}[j].$$

2. Comme $\overline{j} = j^{2}$ et $j + \overline{j} = 2\cos\frac{2\pi}{3} = -1$, $$|a + bj|^{2} = (a + bj)(a + b\overline{j}) = a^{2} + ab(j + \overline{j}) + b^{2}j\overline{j} = a^{2} - ab + b^{2}.$$

3. Comme pour $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$, si $x = a + bj$ est inversible, le produit $|x|^{2}|x^{-1}|^{2}$ vaut $1$, et c'est un produit de deux entiers naturels, donc $a^{2} - ab + b^{2} = 1$. On écrit $$a^{2} - ab + b^{2} = \Big(a - \frac{b}{2}\Big)^{2} + \frac{3b^{2}}{4},$$ ce qui impose $|b| \leqslant 1$, puis on trouve les solutions $(\pm 1, 0)$, $(0, \pm 1)$, $(1, 1)$ et $(-1, -1)$. Elles correspondent à $\pm 1$, $\pm j$, $1 + j = -j^{2}$ et $-1 - j = j^{2}$. Réciproquement, ces six nombres sont de module $1$, et l'inverse $\overline{x}$ de chacun est encore dans $\mathbb{Z}[j]$, puisque $\overline{j} = j^{2} = -1 - j$. $$\boxed{\mathbb{Z}[j]^{\times} = \{\pm 1, \pm j, \pm j^{2}\} = \mathbb{U}_{6}}$$ Les inversibles de $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ formaient $\mathbb{U}_{4}$, ceux de $\mathbb{Z}[j]$ forment $\mathbb{U}_{6}$ : ce sont les rotations qui laissent invariant un réseau carré, ou un réseau triangulaire.