Exercice 42

1. Comme $\sqrt{2}$ est irrationnel, l'écriture $x = a + b\sqrt{2}$ est unique, donc $\sigma$ est bien définie ; c'est la restriction à $A$ de l'automorphisme de $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ étudié dans le cours, et elle envoie $A$ sur $A$, avec $\sigma \circ \sigma = \mathrm{id}_{A}$. Ensuite $N(xy) = xy\,\sigma(x)\sigma(y) = N(x)N(y)$, et $$N(x) = (a + b\sqrt{2})(a - b\sqrt{2}) = a^{2} - 2b^{2} \in \mathbb{Z}.$$

2. Si $xy = 1$ dans $A$, alors $N(x)N(y) = N(1) = 1$, avec deux entiers : $N(x) = \pm 1$. Réciproquement, si $N(x) = \pm 1$, alors $x \cdot \big(\pm\sigma(x)\big) = 1$, avec $\pm\sigma(x) \in A$. $$\boxed{x \in A^{\times} \iff N(x) = \pm 1}$$

3. On a $N(1 + \sqrt{2}) = 1 - 2 = -1$ : $1 + \sqrt{2}$ est inversible, d'inverse $\sqrt{2} - 1$. Comme $1 + \sqrt{2} > 1$, la suite de ses puissances est strictement croissante. $$\boxed{A^{\times} \text{ est infini, alors que } \mathbb{Z}[\mathrm{i}]^{\times} = \mathbb{U}_{4} \text{ a quatre éléments}}$$ La différence vient de ce que $|x|^{2}$ est une somme de carrés, positive, alors que $N(x) = a^{2} - 2b^{2}$ peut valoir $\pm 1$ pour de grands $a$ et $b$ : c'est encore l'équation de Pell-Fermat, comme à l'exercice 17.

4. En développant, $(1 + \sqrt{2})^{k} = p + q\sqrt{2}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels, et $$p^{2} - 2q^{2} = N\big((1 + \sqrt{2})^{k}\big) = (-1)^{k}.$$ Ainsi $p^{2}$ et $2q^{2}$ sont deux entiers naturels consécutifs ; si $a$ est le plus petit, on a $$\boxed{(1 + \sqrt{2})^{k} = \sqrt{p^{2}} + \sqrt{2q^{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{a + 1}}$$ Pour $k = 2$, $3 + 2\sqrt{2} = \sqrt{9} + \sqrt{8}$, d'où $a = 8$ ; pour $k = 3$, $7 + 5\sqrt{2} = \sqrt{49} + \sqrt{50}$, d'où $a = 49$. ✓