ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 11 — Structures algébriques usuelles · Anneaux et corps

Exercice 43

Démonstration

Les anneaux commutatifs suivants sont-ils des corps ? Justifier chaque réponse.

(a) $\mathbb{Q}(\mathrm{i}) = \{a + \mathrm{i} b \mid (a, b) \in \mathbb{Q}^{2}\}$ , sous-anneau de $\mathbb{C}$  ;

(b) l'anneau $\mathbb{D}$ des nombres décimaux, puis l'anneau $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$  ;

(c) l'anneau des nombres duaux de l'exercice 37 ;

(d) l'anneau $\mathcal{F}(X, \mathbb{R})$ , où $X$ a au moins deux éléments ;

(e) l'anneau $(\mathcal{P}(E), \Delta, \cap)$ , où $E$ a un seul élément.

Corrigé

(a) $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$ , comme $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ , et l'inverse de $a + \mathrm{i} b \neq 0$ est $\frac{a - \mathrm{i} b}{a^{2} + b^{2}}$ , qui est dans $\mathbb{Q}(\mathrm{i})$ : c'est un corps.

(b) $\mathbb{D}$ n'est pas un corps, puisque $\frac{1}{3}$ n'est pas décimal (chapitre 7) ; $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ non plus, puisque $2$ n'est pas dans $\mathbb{U}_{4}$ , groupe de ses inversibles.

(c) Non : $\varepsilon \neq 0$ n'est pas inversible (exercice 37).

(d) Non : l'indicatrice d'un singleton n'est pas nulle et n'est pas inversible.

(e) Oui : l'anneau $\{\varnothing, E\}$ est non nul, et son seul élément non nul, $E$ , est l'unité. $\boxed{\text{corps : (a) et (e)}}$ Le corps (e) a deux éléments ; c'est le plus petit corps possible, puisque $0 \neq 1$ .

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Dans l'édifice

Anneaux Groupes Corps Morphismes d'anneaux, sous-anneaux

Thèmes

anneaux et corps, groupes abéliens, anneaux, corps, sous-anneaux

Notions

anneau, groupe abélien, corps, sous-anneau