Exercice 44

1. Si $ax = ay$, alors $a(x - y) = 0$, et $x = y$ puisque $a \neq 0$ et que $A$ est intègre : l'application $x \mapsto ax$ est injective. C'est une application de l'ensemble fini $A$ dans lui-même, donc elle est bijective (chapitre 2, théorème 2). En particulier, il existe $b$ tel que $ab = 1$, et $ba = 1$ par commutativité. $$\boxed{\text{tout anneau intègre fini est un corps}}$$

2. On a $x = x^{-1}$ si et seulement si $x^{2} = 1$, c'est-à-dire $(x - 1)(x + 1) = 0$, soit $x = \pm 1$ par intégrité. Les autres éléments non nuls se regroupent par paires $\{x, x^{-1}\}$ de deux éléments distincts, de produit $1$. Le produit de tous les éléments non nuls vaut donc le produit des éléments de $\{1, -1\}$, qui est $-1$, que $1$ et $-1$ soient distincts ou non. $$\boxed{\prod_{x \in \mathbb{K}^{*}} x = -1}$$

3. Dans le corps $\{\varnothing, E\}$, le produit des éléments non nuls est $E = 1$, et $-1 = 1$, puisque $E \,\Delta\, E = \varnothing$. ✓ Ce résultat est l'analogue, dans un corps fini quelconque, du théorème de Wilson de l'arithmétique : $(p - 1)! \equiv -1 \ [p]$ lorsque $p$ est premier.